Question

13．已知，如圖所示，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥DE，CE⊥DE，D、E為垂足，F(xiàn)是BC的中點，連接DF、EF．求證：DF=EF．

Answer 1

分析 連接AF，由BD⊥DE，CE⊥DE知∠BDA=∠BAC=∠CEA=90°，故∠ABD=∠CAE，繼而根據(jù)AAS得△ABD≌△CAE，AE=BD，∠ABD=∠CAE；F是BC中點可得AF=$\frac{1}{2}$BC=CF=BF，∠ACF=∠CAF=∠ABF，即∠FBD=∠FAE，根據(jù)SAS判定△FBD≌△FAE，得證．

解答 證明：連接AF，

∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠BDA=∠BAC=∠CEA=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AE=BD，∠ABD=∠CAE，
∵F是BC中點，
∴AF=$\frac{1}{2}$BC=CF=BF，
∴∠ACF=∠CAF，
又∵AB=AC，
∴∠ACF=∠ABF，
∴∠CAF=∠ABF，
∴∠CAF+∠CAE=∠ABF+∠ABD，即∠FBD=∠FAE，
在△FBD和△FAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AE}\\{∠DBF=∠FAE}\\{BF=AF}\end{array}\right.$，
∴△FBD≌△FAE（SAS），
∴DF=EF．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，通過證明一對三角形全等，為另一組三角形全等創(chuàng)造條件是關(guān)鍵．