分析 過(guò)C作AB的平行線交AF的延長(zhǎng)線于P,證明△ABE≌△CAP,△MCF≌△PCF,得BE=AP.MF=PF,EG=MG,即可推出答案.
解答 證明:如圖,過(guò)點(diǎn)C作CP∥AB,交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,
在△ABE和△ACD中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴∠ABE=∠ACD,
∵∠BAP+∠ABE=90°,∠ACD+∠FMC=90°
∴∠BAP=∠FMC,
又∵AB∥PC,
∴∠BAP=∠P
∴∠FMC=∠P.
∵AF⊥BE,∠BAC=90°,
∵∠BAE=∠ACP=90°,
∴∠ABE+∠AEB=90°,
∵AF⊥BE,
∴∠PAC+∠AEB=90°,
∴∠ABE=∠PAC
在△ABE和△CAP中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CAP}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACP}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△CAP(ASA),
∴BE=AP.
∵CP∥AB,∠ACP=90°,∠ACB=45°,
∴∠MCF=∠PCF=45°,
在△MCF和△PCF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠FMC=∠P}\\{∠MCF=∠PCF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$,
∴△MCF≌△PCF(AAS),
∴MF=PF,∠P=∠FMC,
又∵∠FMC=∠GME,
∴∠GEM=∠GME,
∴GE=GM,
則BG=BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG=AF+FG
點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生對(duì)等腰直角三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握,解答此題的關(guān)鍵是過(guò)C作AB的平行線交AF的延長(zhǎng)線于P,證明△ABE≌△ACP,△MCF≌△PCF.
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