分析 (1)根據(jù)已知條件可知BC=B′C′,AA′=BB′,AB=A′B′,AA′∥BB′,AB∥A′B′,得$\frac{A′E}{AB}=\frac{ED}{AD}=\frac{2}{3}$,$\frac{CE}{CA}=\frac{1}{3}$即可解答.
(2)根據(jù)$\frac{AD}{DC}=\frac{AA′}{BC′}$得$\frac{n-1}{2}=\frac{n}{n+1}$,解方程即可.
(3)分EC′=2DE或DE=2EC′兩種情形,通過比例式列出方程即可求出n.
解答 解:(1)如圖1中,連接AA′,
∵△A′B′C′是由△ABC平移,
∴BC=B′C′,AA′=BB′,AB=A′B′,AA′∥BB′,AB∥A′B′,
∵BB′=2BC=2B′C′,
∴$\frac{B′E}{AB}$=$\frac{C′B′}{C′B}$=$\frac{1}{3}$,$\frac{CE}{AE}=\frac{C′B′}{B′B}$=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{A′E}{AB}=\frac{DE}{AD}$=$\frac{2}{3}$,$\frac{EC′}{DE}$=$\frac{5}{4}$,
故答案分別為$\frac{2}{3}$,$\frac{5}{4}$.
(2)∵△A′B′C′是由△ABC平移,
∴BC=B′C′,AA′=BB′,AB=A′B′,AA′∥BB′,AB∥A′B′,BB′=nBC,
∴$\frac{EC}{AE}=\frac{C′B′}{BB′}$=$\frac{1}{n}$,
∵DE=EC,
∴$\frac{AD}{DC}=\frac{AA′}{BC′}$,
∴$\frac{n-1}{2}=\frac{n}{n+1}$,
∴n2-2n-1=0
∴n=1+$\sqrt{2}$或1-$\sqrt{2}$
∵n>0
∴n=1+$\sqrt{2}$.
(3)①當(dāng)EC′=2DE時,
∵△A′B′C′是由△ABC平移,
∴BC=B′C′,AA′=BB′,AB=A′B′,AA′∥BB′,AB∥A′B′,
∴$\frac{EC′}{AE}=\frac{B′C′}{B′B}$=$\frac{1}{n}$,
∴$\frac{AD}{DC}$=$\frac{AA′}{BC′}$,
∴$\frac{n-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{n}{n+1}$,
整理得到2n2-2n-1=0
∴n=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$(舍棄).
②當(dāng)DE=2EC′時,
∵△A′B′C′是由△ABC平移,
∴BC=B′C′,AA′=BB′,AB=A′B′,AA′∥BB′,AB∥A′B′,
∴$\frac{EC′}{AE}=\frac{B′C′}{B′B}$=$\frac{1}{n}$,
∴$\frac{AD}{DC}$=$\frac{AA′}{BC′}$,
∴$\frac{n-2}{2+1}=\frac{n}{n+1}$,
整理得到:n2-4n-2=0
∴n=2+$\sqrt{6}$或2-$\sqrt{6}$(舍棄).
故答案為$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$或2+$\sqrt{6}$.
點(diǎn)評 本題考查平移的性質(zhì)、平行成比例等知識,圖形比較復(fù)雜,靈活運(yùn)用平行成比例是解決問題的關(guān)鍵,學(xué)會用方程的思想去解決問題.
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