Question

20、甲、乙、丙三人分糖塊，分法如下：先取三張一樣的紙片，在紙片上各寫(xiě)一個(gè)正整數(shù)p、q、r，使p＜q＜r，分糖時(shí)，每人抽一張紙片（同一輪中抽出的紙片不放回去），然后把紙片上的數(shù)減去p，就是他這一輪分得的糖塊數(shù)，經(jīng)過(guò)若干輪這樣的分法后，甲共得到20塊糖，乙得到10塊糖，丙得到9塊糖．又知最后一次乙拿到的紙片上寫(xiě)的數(shù)是r，而丙在各輪中拿到的紙片上寫(xiě)的數(shù)之和是18，問(wèn)：p、q、r分別是哪三個(gè)正整數(shù)？為什么？

Answer 1

分析：根據(jù)每一輪三人得到的糖塊數(shù)之和為r+q+p-3p=r+q-2p，得出n輪后等式方程n（r+q-2p）=20+10+9=39，進(jìn)而得出n的值，即可得出拿到紙片p的人數(shù)，以及q的值．

解答：解：p=3，q=6，r=13，
每一輪三人得到的糖塊數(shù)之和為r+q+p-3p=r+q-2p，
設(shè)他們共分了n輪，則n（r+q-2p）=20+10+9=39①，
∵39=1×39=3×13，且n≠1（否則拿到紙片p的人得糖數(shù)為0，與已知矛盾）；
n≠39（因p＜q＜r，所以每輪至少分出3塊糖，不可能每輪只分出一塊糖），
∴n=3或n=13由于每人所得的糖塊數(shù)是他拿到的紙片上的數(shù)的總和減去np，由丙的情況得到9=18-np，
∴np=9，
∵p是正整數(shù)，即p≥1．
∴n≠13，
∴n=3．∴p=3．
把n=3，p=3代入①式得r+q=19．
由于乙得的糖塊總數(shù)為10，最后一輪得到r-3塊，
∴r-3≤10，r≤13．
若r≤12，則乙最后一輪所得的糖數(shù)為r-p≤9，這樣乙必定要在前兩輪中得一張q或r．
這樣乙得的總糖數(shù)大于或等于（r+q）-6=13，這與已知“乙得的糖塊總數(shù)為10”矛盾，
∴r＞12．
∵12＜r≤13，
∴r=13，
∴q=19-r=6．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了整數(shù)問(wèn)題的綜合應(yīng)用，根據(jù)已知得出n（r+q-2p）=20+10+9=39進(jìn)而利用整數(shù)性質(zhì)求出n，p的值是解題關(guān)鍵．