精英家教網(wǎng)如圖,A、P、B、C是⊙O上的四點(diǎn),∠APC=∠BPC=60°,AB與PC交于Q點(diǎn).
(1)判斷△ABC的形狀,并證明你的結(jié)論;
(2)求證:
AP
PB
=
AQ
QB
;
(3)若∠ABP=15°,△ABC的面積為4
3
,求PC的長(zhǎng).
分析:(1)由圓周角定理知,∠BAC=∠BPC=∠APC=∠BPC=60°,即可證明△ABC是等邊三角形;
(2)過(guò)B作BD∥PA交PC于D,證得△AQP∽△BQD,
AQ
QB
=
AP
BD
,再證PB=BD即可;
(3)通過(guò)作輔助線,構(gòu)造等腰直角三角形求解.
解答:精英家教網(wǎng)(1)解:△ABC是等邊三角形.
證明:∵∠ABC=∠APC=60°,∠BAC=∠BPC=60°,
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°,
∴△ABC是等邊三角形;

(2)證明:如圖,過(guò)B作BD∥PA交PC于D,則∠BDP=∠APC=60°,
又∵∠AQP=∠BQD,精英家教網(wǎng)
∴△AQP∽△BQD,
AQ
QB
=
AP
BD
,
∵∠BPD=∠BDP=60°,
∴PB=BD,
AQ
QB
=
AP
PB


(3)解:設(shè)正△ABC的高為h,則h=BC•sin60°.
1
2
BC•h=4
3
,
1
2
BC•BC•sin60°=4
3

解得BC=4,
連接OB,OC,OP,作OE⊥BC于E,
由△ABC是正三角形知∠BOC=120°,從而得∠OCE=30°,
OC=
CE
cos30°
=
4
3
,
由∠ABP=15°得∠PBC=∠ABC+∠ABP=75°,
于是∠POC=2∠PBC=150°,精英家教網(wǎng)
∴∠PCO=(180°-150°)÷2=15°,
如圖,作等腰直角△RMN,在直角邊RM上取點(diǎn)G,使∠GNM=15°,則∠RNG=30°,
作GH⊥RN,垂足為H.
設(shè)GH=1,則cos∠GNM=cos15°=
MN
2

在Rt△GHN中,精英家教網(wǎng)
NH=GN•cos30°,GH=GN•sin30°,
∴RH=GH,MN=RN•sin45°,
∴cos15°=
2
+
6
4

在圖中,作OF⊥PC于F,
∴PC=2CF=2OC•cos15°=2
2
+
2
6
3
點(diǎn)評(píng):本題利用了圓周角定理,等邊三角形的判定和性質(zhì),銳角三角函數(shù)的概念,三角形的面積公式,等腰直角三角形的性質(zhì),通過(guò)作輔助線,構(gòu)造相似三角形和等腰直角三角形求解,有很強(qiáng)的綜合性.
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3
,求⊙O的半徑.

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