如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1,0）、B（3,0）、C（0，），連接AC、BC，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在x軸上，得到△DCE，此時(shí)，DE所在直線與拋物線交于第一象限的點(diǎn)F.

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.
（2）求點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng).
（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P使△PDF是等腰三角形.
若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.
（1）   （2） （3）P（1,2），（1，-2），（1,2）或（1，

試題分析：（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1,0）、B（3,0）、C（0，），那么
，解得，所以拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為
（2）將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在x軸上，得到△DCE，則D的坐標(biāo)（1，0）。所以AD=1+1=2，點(diǎn)A（-1,0）、C（0，），在，是直角，AO=1，CO=，由勾股定理得，同理CD=2，所以三角形ACD是等邊三角形，；點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線是一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)，圓心角為，半徑為AC=2所以扇形的弧長(zhǎng)=
（3）拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P使△PDF是等腰三角形，拋物線的對(duì)稱軸；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，a），F(xiàn)的坐標(biāo)為（x,y），則P、D都在拋物線的對(duì)稱軸上; 假設(shè)△PDF是等腰三角形，F(xiàn)D是腰，則PD=FD，由（1）知D的坐標(biāo)（1，0），所以PD=，F(xiàn)D= ,則=，而點(diǎn)F在拋物線上，所以F的坐標(biāo)滿足的解析式，解得；當(dāng)△PDF是等腰三角形，F(xiàn)D是底邊，那么PF、PD是腰，所以PF=PD，則PD=，F(xiàn)的坐標(biāo)為（x,y），F(xiàn)的坐標(biāo)滿足的解析式；PF=，則=，解得a=2或a=,所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（1,2），（1，-2），（1,2）或（1，
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線，等腰三角形，要求考生會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握拋物線的性質(zhì)，熟悉等腰三角形的性質(zhì)               
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與 軸交于A（，0），B（2，0），且與軸交于點(diǎn)C.


（1）求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；
（2）點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)， 連接PO，PC，
并把△POC沿CO翻折，得到四邊形，求出使四邊形為菱形的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3) 在此拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，B，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在, 求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)， A點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，0），過(guò)點(diǎn)C的直線y＝x－3與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PH⊥OB于點(diǎn)H．若PB＝5t，且0＜t＜1．

（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是     ，b＝   ，c＝    ；
（2）求線段QH的長(zhǎng)（用含t的式子表示）；
（3）依點(diǎn)P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），C點(diǎn)坐標(biāo)（0，－4）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）用直尺和圓規(guī)作出△ＡＢＣ的外接圓⊙M，（不寫作法，保留作圖痕跡），并求⊙M的圓心M的坐標(biāo)；

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)（   ）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且較小的根為2，則下列結(jié)論：①；②；③關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④拋物線的頂點(diǎn)在第四象限。其中正確的結(jié)論有（   ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

下列命題中，是真命題的是（     ）
①面積相等的兩個(gè)直角三角形全等；②對(duì)角線互相垂直的四邊形是正方形；
③將拋物線向左平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位可得到拋物線
④兩圓的半徑R、r分別是方程的兩根，且圓心距，則兩圓外切.
A．①B．②C．③D．④

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線與直線AB交于點(diǎn)A(－1，0)，B(4，)．點(diǎn)D是拋物線A，B兩點(diǎn)間部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），直線CD與y軸平行，交直線AB于點(diǎn)C，連接AD，BD．

（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則用m的代數(shù)式表示線段DC的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，若△ADB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)S取最大值時(shí)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（4）當(dāng)點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn)P，Q，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中， Rt△AOB的直角邊OA在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限，并且AB=3，OA=6，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到△COD．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)（不含點(diǎn)C），沿射線DC方向運(yùn)動(dòng)，記過(guò)點(diǎn)D，P，B的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a<0）.

（1）直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）在直線CD的上方是否存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)D，O，P，Q四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形，若存在，求出P與Q的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到∠DOP=45度時(shí)，求拋物線的對(duì)稱軸；
（4）求代數(shù)式a+b+c的值的取值范圍(直接寫出答案即可).

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