Question

把一張邊長(zhǎng)為40 cm的正方形硬紙板，進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟眉�，折成一個(gè)長(zhǎng)方體盒子(紙板的厚度忽略不計(jì))．
(1)如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪掉一個(gè)同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子．

①要使折成的長(zhǎng)方體盒子的底面積為484 cm²，那么剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為多少？
②折成的長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積是否有最大值？如果有，求出這個(gè)最大值和此時(shí)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)；如果沒有，說明理由．
(2)若在正方形硬紙板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一條邊在正方形硬紙板的邊上)，將剩余部分折成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體盒子．若折成的一個(gè)長(zhǎng)方體盒子的表面積為550 cm²，求此時(shí)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高(只需求出符合要求的一種情況)．

Answer 1

(1)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為9 cm；
(2)當(dāng)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為10 cm時(shí)，長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積最大為800 cm².
(3)此時(shí)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)為15 cm，寬為10 cm，高為5 cm.

解：(1)①設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為x cm，
則(40－2x)²＝484，
即40－2x＝±22，解得x₁＝31(不合題意，舍去)，x₂＝9.
②側(cè)面積有最大值．
設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為x cm，盒子的側(cè)面積為y cm²，
則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝4(40－2x)x，
即y＝－8x²＋160x，
改寫為y＝－8(x－10)²＋800，∴當(dāng)x＝10時(shí)，y_最大＝800.

(2)在如圖的一種裁剪圖中，設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為x cm，
2(40－2x)(20－x)＋2x(20－x)＋2x(40－2x)＝550，
解得x₁＝－35(不合題意，舍去)，x₂＝15.
∴剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為15 cm.
答：(1)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為9 cm；
(2)當(dāng)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為10 cm時(shí)，長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積最大為800 cm².
(3)此時(shí)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)為15 cm，寬為10 cm，高為5 cm.