Question

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，∠ADE=∠CDF．
（1）求證：AE=CF；
（2）連結(jié)DB交EF于點(diǎn)O，延長OB至點(diǎn)G，使OG=OD，連結(jié)EG、FG，判斷四邊形DEGF是否是菱形，并說明理由．

Answer 1

(1)證明見解析
(2)四邊形DEGF是菱形．理由見解析

試題分析：（1）由正方形的性質(zhì)可得AD=CD，∠A=∠C=90°，然后利用“SAS”證明△ADE和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=CF；
（2）由（1）可得BE=BF，從而可得DE=DF，再根據(jù)到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線可得BD為EF的中垂線，然后根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可得證．
試題解析：（1）在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C=90°，
又∵∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF；
（2）四邊形DEGF是菱形．
理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC，
∵AE=CF，
∴AB﹣AE=BC﹣CF，
即BE=BF，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴BD垂直平分EF，
又∵OG=OD，
∴四邊形DEGF是菱形．