Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AD平分∠BAC交⊙O于點D，DE⊥AC交AC的延長線于點E，F(xiàn)B是⊙O的切線交AD的延長線于點F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE=6，⊙O的半徑為10，求BF的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連結OD，若要證明AD平分∠BAC，則問題可轉化為證明：∠1=∠2；
（2）作DH⊥AB，可證明△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可得到關于BF的比例式，計算即可．

解答：（1）證明：連結OD，
∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥OE．             
又∵DE⊥AC，
∴AE∥OD．
∴∠2=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠1=∠ADO．
∴∠1=∠2，
即AD平分∠ABC；

（2）解：作DH⊥AB于H，
∵∠1=∠2，∠E=90°，
∴DH=DE=6，
∵OD=10，
∴由勾股定理得：OH=8，
∴AH=10+8=18，AB=20，
∵FB是⊙O的切線，
∴∠FBA=90°，
∴DH⊥AB，
∴DH∥BF，
∴△AHD∽△ABF，
∴

DH

BF

=

AH

AB

，
∴

6

BF

=

18

20

，
∴BF=

20

3

．

點評：本題考查了切線的判定方法，經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，注意：輔助線的做法，也考查了相似三角形的性質和判定．