【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是,直線與橢圓交于兩點(diǎn).

(1)若為橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn),且是直角三角形,求的值;

(2)若,且是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形,求滿(mǎn)足的關(guān)系;

(3)若,且,求證: 的面積為定值.

【答案】(1) ;(2) ;(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:1根據(jù)為等腰直角三角形,可得兩種情況討論,可得的值為 ;(2當(dāng)時(shí), ,設(shè)

,即由韋達(dá)定理及平面向量數(shù)量積公式可得結(jié)果;3)由可得,結(jié)合韋達(dá)定理可得根據(jù)以上結(jié)論,利用三角形面積公式化簡(jiǎn)即可得結(jié)論.

試題解析:(1)∵M為橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn),且△MF1F2是直角三角形,

∴△MF1F2為等腰直角三角形,

∴OF1=OM,

當(dāng)a>1時(shí),=1,解得a=

當(dāng)0<a<1時(shí),=a,解得a=,

(2)當(dāng)k=1時(shí),y=x+m,設(shè)A(x1,y1),(x2,y2),

,即(1+a2)x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0,

∴x1+x2=﹣,x1x2=

∴y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=,

∵△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,

=0,

∴x1x2+y1y2=0,

+=0,

∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0

∴m2(a2+1)=2a2

(3)證明:當(dāng)a=2時(shí),x2+4y2=4,

設(shè)A(x1,y1),(x2,y2),

∵kOAkOB=﹣,

=﹣,

∴x1x2=﹣4y1y2

,整理得,(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.

∴x1+x2=,x1x2=,

∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

=++m2=

=﹣4×

∴2m2﹣4k2=1,

∴|AB|==

=2=

O到直線y=kx+m的距離d==,

∴SOAB=|AB|d====1.

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