【題目】如圖,凸四邊形ABCD的邊AD和BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,H和G分別是BD和AC的中點(diǎn).求:△EHG的面積與四邊形ABCD的面積之比.

【答案】1:4.

【解析】

試題分析:要求S△EHG和四邊形ABCD的比例關(guān)系,首先要將S△EHG和四邊形ABCD分別與與之有關(guān)聯(lián)的圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)換,通過觀察發(fā)現(xiàn):S△GHC=S△AGH,S△DGC=S△ADG,于是求得S△GHC+S△DGC之和即四邊形DGHC的面積為四邊形AHCD的一半.同理可求得四邊形AHCD的面積為四邊形ABCD的一半,于是得出四邊形ABCD的面積為四邊形GHCD的4倍.

然后求出S△GHE與S四邊形GHCD的關(guān)系即可.

解:如圖所示:

連接DG、HC、AH,設(shè)DC與GE交于M,DC與EH交于N,設(shè)△ENC=S1,S△EMN=S2,S△DME=S3,S△HNC=S4,S△DGM=S5.

因:S△EHB=S△DHE,故:S1+S4+S△BHC=S2+S3+S△DHN…1

又因:S△DHC=S△BHC,故:S△DHN+S4=S△BHC…2

將2代入1得出:S1+S4+S4+S△DHN=S2+S3+S△DHN 簡(jiǎn)化得出:2S4=S2+S3﹣S1…3

同理:S△AGE=S△EGC,故:S△GMC+S1+S2=S3+S5+S△ADG…4

S△ADG=S△DGC,故:S△GMC+S5=S△ADG…5

將5代入4,得出:S△GMC+S1+S2=S3+S5+S△GMC+S5,簡(jiǎn)化得出:2S5=S1+S2﹣S3…6

將得式3與得式6相加,得出:S4+S5=S2,故:S△GHE=S四邊形GHCD…7

又因:S△GHC=S△AGH,S△DGC=S△ADG,故:S四邊形DGHC的=1/2 S四邊形AHCD,同理可求得S四邊形AHCD= S四邊形ABCD,于是得出:S四邊形ABCD=4 S四邊形GHCD…8

故 S△EHG:S四邊形ABCD=1:4

答:△EHG的面積與四邊形ABCD的面積之比是1:4.

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