Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=3

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，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿MB以每秒1個(gè)單位長的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動，到達(dá)B點(diǎn)后
立刻以原速度沿BM返回點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)以每秒1個(gè)單位長的速度在射線MC上勻速運(yùn)動．在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動過程中，以PQ為邊作等邊三角形EPQ，使它與梯形ABCD在射線BC的同側(cè)．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P返回到點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時(shí)間是t秒
（1）設(shè)PQ的長為y，在點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動的過程中，寫出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫t的取值范圍）
（2）當(dāng)BP=1時(shí)，求△EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積
（3）隨著時(shí)間t的變化，線段AD會有一部分被△EPQ覆蓋，被覆蓋線段的長度在某個(gè)時(shí)刻會達(dá)到最大值，請回答：該最大值能否持續(xù)一個(gè)時(shí)間段？若能，直接寫出t的取值范圍；若不能請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)路程公式直接寫出PQ的長度y；
（2）當(dāng)BP=1時(shí)，有兩種情況：①點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動，通過計(jì)算可知，MP=MQ=3，即PQ=6，連接EM，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求EM=3

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，此時(shí)EM=AB，重疊部分為△PEQ的面積；②點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)M運(yùn)動，此時(shí)t=5，MP=3，MQ=5，△PEQ的邊長為8，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，在Rt△PHF中，已知PH，∠HPF=30°，可求FH、PF、FE，證明等邊△EFG中，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合，此時(shí)重疊部分面積為梯形FPCG的面積；根據(jù)梯形面積公式求解；
（3）由圖可知，當(dāng)t=4時(shí)，P、B重合，Q、C重合，線段AD被覆蓋長度達(dá)到最大值，由（2）可知，當(dāng)t=5時(shí)，線段EQ經(jīng)過D點(diǎn)，長度也是最大值，故t的范圍在4與5之間．

解答：解：（1）y=MP+MQ=2t；

（2）當(dāng)BP=1時(shí)，有兩種情形：
①如圖1，若點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動，有MB=

1

2

BC=4，MP=MQ=3，
所以PQ=6．連接EM，
因?yàn)椤鱁PQ是等邊三角形，所以EM⊥PQ．所以EM=3

3

．
因?yàn)锳B=3

3

，所以點(diǎn)E在AD上．
所以△EPQ與梯形ABCD重疊部分就是△EPQ，其面積為9

3

．
②若點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)M運(yùn)動，由題意得t=5．
PQ=BM+MQ-BP=8，PC=7．
設(shè)PE與AD交于點(diǎn)F，QE與AD或AD的延長線交于點(diǎn)G，
過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，
則HP=3

3

，AH=1．
在Rt△HPF中，∠HPF=30°，
所以HF=3，PF=6．所以FG=FE=2．
又因?yàn)镕D=2，
所以點(diǎn)G與點(diǎn)D重合，如圖2．
此時(shí)△EPQ與梯形ABCD的重疊部分就是梯形FPCG，其面積為

27 3

2

．

（3）能，
此時(shí)，4≤t≤5．
過程如下：
如圖，當(dāng)t=4時(shí)，P點(diǎn)與B點(diǎn)重合，Q點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)，
此時(shí)被覆蓋線段的長度達(dá)到最大值，
因?yàn)椤鱌EQ為等邊三角形，
所以∠EPC=60°，
所以∠APE=30°，
因?yàn)锳B=3

3

，
所以AF=3，BF=6，
所以EF=FG=2，
所以GD=6-2-3=1，
所以Q向右還可運(yùn)動1秒，F(xiàn)G的長度不變，
所以4≤t≤5．

點(diǎn)評：本題考查了動點(diǎn)與圖形面積問題，需要通過題目的條件，分類討論，利用特殊三角形，梯形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．