3.排序

排序的算法很多，課本主要介紹里兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序

(1)直接插入排序

在日常生活中，經(jīng)常碰到這樣一類排序問題：把新的數(shù)據(jù)插入到已經(jīng)排好順序的數(shù)據(jù)列中。

例如：一組從小到大排好順序的數(shù)據(jù)列{1，3，5，7，9，11，13}，通常稱之為有序列，我們用序號1，2，3，……表示數(shù)據(jù)的位置，欲把一個新的數(shù)據(jù)8插入到上述序列中。

完成這個工作要考慮兩個問題：

(1)確定數(shù)據(jù)“8”在原有序列中應(yīng)該占有的位置序號。數(shù)據(jù)“8”所處的位置應(yīng)滿足小于或等于原有序列右邊所有的數(shù)據(jù)，大于其左邊位置上所有的數(shù)據(jù)。

(2)將這個位置空出來，將數(shù)據(jù)“8”插進去。

對于一列無序的數(shù)據(jù)列，例如：{49，38，65，97，76，13，27，49}，如何使用這種方法進行排序呢？基本思想很簡單，即反復(fù)使用上述方法排序，由序列的長度不斷增加，一直到完成整個無序列就有序了。

首先，{49}是有序列，我們將38插入到有序列{49}中，得到兩個數(shù)據(jù)的有序列：

{38，49}，

然后，將第三個數(shù)據(jù)65插入到上述序列中，得到有序列：

{38，49，65}

…………

按照這種方法，直到將最后一個數(shù)據(jù)65插入到上述有序列中，得到

{13，27，38，49，49，65，76，97}

這樣，就完成了整個數(shù)據(jù)列的排序工作。注意到無序列“插入排序算法”成為了解決這類問題的平臺。

(2)冒泡法排序

所謂冒泡法排序，形象地說，就是將一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列時，小的數(shù)據(jù)視為質(zhì)量輕的，大的數(shù)據(jù)視為質(zhì)量沉的。一個小的數(shù)據(jù)就好比水中的氣泡，往上移動，一個較大的數(shù)據(jù)就好比石頭，往下移動。顯然最終會沉到水底，最輕的會浮到頂，反復(fù)進行，直到數(shù)據(jù)列排成為有序列。以上過程反映了這種排序方法的基本思路。

我們先對一組數(shù)據(jù)進行分析。

設(shè)待排序的數(shù)據(jù)為：{49，38，65，97，76，13，27，49}

排序的具體操作步驟如下：

2．秦九韶算法

秦九韶算法的一般規(guī)則：

秦九韶算法適用一般的多項式f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+….+a₁x+a₀的求值問題。用秦九韶算法求一般多項式f(x)= a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+….+a₁x+a₀當(dāng)x=x₀時的函數(shù)值，可把n次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個一次多項式的值的問題，即求

v₀=a_n

v₁=a_nx+a_n－1

v₂=v₁x+a_n－2

v₃=v₂x+a_n－3

……..

v_n=v_n－1x+a₀

觀察秦九韶算法的數(shù)學(xué)模型，計算v_k時要用到v_k－1的值，若令v₀=a_n。

我們可以得到下面的遞推公式：

v₀=a_n

v_k=v_k－1+a_n－k(k=1,2,…n)

這是一個在秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟，可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)。

1．求最大公約數(shù)

(1)短除法

求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的步驟：先用兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是兩個互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來。

(2)窮舉法(也叫枚舉法)

窮舉法求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的解題步驟：從兩個數(shù)中較小數(shù)開始由大到小列舉，直到找到公約數(shù)立即中斷列舉，得到的公約數(shù)便是最大公約數(shù) 。

(3)輾轉(zhuǎn)相除法

輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，其算法可以描述如下：

① 輸入兩個正整數(shù)m和n；

② 求余數(shù)r：計算m除以n，將所得余數(shù)存放到變量r中；

③更新被除數(shù)和余數(shù)：m=n，n=r；

④判斷余數(shù)r是否為0。若余數(shù)為0，則輸出結(jié)果；否則轉(zhuǎn)向第②步繼續(xù)循環(huán)執(zhí)行。

如此循環(huán)，直到得到結(jié)果為止。

(4)更相減損術(shù)

我國早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中記載了更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母•子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。

步驟：

Ⅰ．任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。

Ⅱ．以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)(等數(shù))就是所求的最大公約數(shù)。

算法是高中數(shù)學(xué)新課程中的新增內(nèi)容，本講的重點是幾種重要的算法案例思想，復(fù)習(xí)時重算法的思想輕算法和程序的構(gòu)造。

對本講的考察是：以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值在5分左右，考察的熱點是算法實例和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識的結(jié)合題目。

65. They have no idea at all _____.

A. where he has gone　　　　　　　　　　　　　 B. where did he go

C. where has he gone　　　　　　　　　　　　　 D. which place he has gone

64. We must keep in mind the fact _____ China is still a developing country.

A. whether　　　　　　 B. that　　　　　　　　　 C. why　　　　　　　　　　　　 D. when

63.I have no idea _____ she will be back.

A. that　　　　　　　　　 B. where　　　　 C. that when　　　　　　　　 D. when

62. The fact _____ he hadn’t said anything surprised us all.

A. why　　　　　　　　　　 B. if　　　　　　　 C. that　　　　　　　　　 D. whether

61. We heard the news _____ our team had won.

A. that　　　　　　　　　　 B. what　　　　　　　　 C. whether　　　　　　 D. why