如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0），過點(diǎn)A作AD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)M是四邊形OADE的對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)F在y軸負(fù)半軸上，且F（0，-2）。
（1）求拋物線的解析式，并直接寫出四邊形OADE的形狀；
（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q從C、F兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以每秒1個(gè)長度單位的速度沿CB、FA方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到O時(shí)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，在運(yùn)動(dòng)過程中，以P、Q、O、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使以B、C、F、N為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；不存在，說明理由。

如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax²+bx﹣1（a≠0）的圖象過點(diǎn)A（2，0）和B（4，3），l為過
點(diǎn)（0，﹣2）且與x軸平行的直線，P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過P作
PH⊥l，H為垂足．
（1）求二次函數(shù)y=ax²+bx﹣1（a≠0）的解析式；
（2）請直接寫出使y＜0的對應(yīng)的x的取值范圍；
（3）對應(yīng)當(dāng)m=0，m=2和m=4時(shí)，分別計(jì)算|PO|²和|PH|²的值．由此觀察其規(guī)律，并猜想一個(gè)結(jié)論，證明對于任意實(shí)數(shù)m，此結(jié)論成立；
（4）試問是否存在實(shí)數(shù)m可使△POH為正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．