Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來(lái)的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值范圍）
（2）在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）作QF⊥AC于點(diǎn)F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)DE∥QB時(shí)，得四邊形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由線段的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系求得t，由PQ∥BC，四邊形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，由線段的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系求t．

解答：解：（1）作QF⊥AC于點(diǎn)F，如圖1，AQ=CP=t，
∴AP=3-t．
由△AQF∽△ABC，BC=

52-32

=4，
得

QF

4

=

t

5

．
∴QF=

4

5

t．
∴在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△APQ的面積S=

1

2

（3-t）•

4

5

t；
（2）能．
①當(dāng)由△APQ∽△ABC，DE∥QB時(shí)，如圖2．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形，
此時(shí)∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABC，得

AQ

AC

=

AP

AB

，
即

t

3

=

3-t

5

．解得 t=

9

8

；
②如圖3，當(dāng)PQ∥BC時(shí)，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．
此時(shí)∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABC，得

AQ

AB

=

AP

AC

，
即

t

5

=

3-t

3

．
解得 t=

15

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定定理，線段比的有關(guān)知識(shí)，利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)以及實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，同時(shí)考生要注意巧妙利用輔助線的幫助解答，難度較大．