已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，

3

2

），其頂點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，此拋物線與x軸分別交于B（x₁，0），C（x₂，0）兩點(diǎn)，且x₂-x₁=4．
（1）求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）連接EB、EC，判斷△BEC的形狀，并說(shuō)明理由．

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，并在給定的直角坐系中畫出這條拋物線；
（2）若點(diǎn)（x₀，y₀）在拋物線上，且1≤x₀≤4，寫出y₀的取值范圍；
（3）設(shè)平行于y軸的直線x=t交線段BM于點(diǎn)P（點(diǎn)P能與點(diǎn)M重合，不能與點(diǎn)B重合），交x軸于點(diǎn)Q，四邊形AQPC的面積為S
①求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
②求S取得最大值時(shí)P的坐標(biāo)；
③設(shè)四邊形OBMC的面積為S’，判斷是否存在點(diǎn)P，使得S=S’，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

如圖①，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，且頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，2），
（1）求該拋物線的解析式；
（2）現(xiàn)將它向右平移m（m＞0）個(gè)單位，所得拋物線與x軸交于C、D兩點(diǎn)，與原拋物線交于點(diǎn)P，△CDP的面積為S，求S關(guān)于m的關(guān)系式；
（3）如圖②，以點(diǎn)A為圓心，以線段OA為半徑畫圓，交拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸于點(diǎn)B，連接AB，若將拋物線向右平移m（m＞0）個(gè)單位后，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′點(diǎn)，且滿足四邊形BAA′B′為菱形，平移后的拋物線的對(duì)稱軸與菱形的對(duì)角線BA′交于點(diǎn)E，在x軸上是否存在一點(diǎn)F，使得以E、F、A′為頂點(diǎn)的三角形與△BAE相似？若存在，求出F點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)P（

3

，3），E（

5 3

2

，0）及原點(diǎn)O（0，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過(guò)P點(diǎn)作平行于x軸的直線PC交y軸于C點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)且位于直線PC下方的拋物線上，任取一點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作直線QA平行于y軸交x軸于A點(diǎn)，交直線PC于B點(diǎn)，直線QA與直線PC及兩坐標(biāo)軸圍成矩形OABC（如圖）．是否存在點(diǎn)Q，使得△OPC與△PQB相似？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如果符合（2）中的Q點(diǎn)在x軸的上方，連接OQ，矩形OABC內(nèi)的四個(gè)三角形△OPC，△PQB，△OQP，△OQA之間存在怎樣的關(guān)系，為什么？

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-5，0）、（-1，0）、（1，12），求這個(gè)拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)．