已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過P(
3
,3),E(
5
3
2
,0)及原點O(0,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)過P點作平行于x軸的直線PC交y軸于C點,在拋物線對稱軸右側(cè)且位于直線PC下方的拋物線上,任取一點Q,過點Q作直線QA平行于y軸交x軸于A點,交直線PC于B點,直線QA與直線PC及兩坐標(biāo)軸圍成矩形OABC(如圖).是否存在點Q,使得△OPC與△PQB相似?若存在,求出Q點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)如果符合(2)中的Q點在x軸的上方,連接OQ,矩形OABC內(nèi)的四個三角形△OPC,△PQB,△OQ精英家教網(wǎng)P,△OQA之間存在怎樣的關(guān)系,為什么?
分析:(1)將已知的三點坐標(biāo)代入拋物線解析式中進行求解即可.
(2)可根據(jù)拋物線的解析式設(shè)出Q點的坐標(biāo),要使△OPC與△PQB相似,可分兩種情況:
①△OCP∽△PBQ,此時∠COP=∠BPQ,
CO
BP
=
PC
BQ
,用Q點的坐標(biāo)表示出BP、BQ的長,根據(jù)線段的比例關(guān)系式即可求出Q點的坐標(biāo).
②△OCP∽△QPB,此時∠CPO=∠BPQ,
CO
BQ
=
CP
BP
,方法同①
(3)根據(jù)(2)得出的Q點的坐標(biāo)進行判斷即可,注意運用正方形的性質(zhì)和一些特殊角.
解答:解:(1)由已知可得:
3a+
3
b=3
75
4
a+
5
3
2
b=0
c=0

解之得,a=-
2
3
,b=
5
3
3
,c=0.
因而得,拋物線的解析式為:y=-
2
3
x2+
5
3
3
x.

(2)存在.
設(shè)Q點的坐標(biāo)為(m,n),則n=-
2
3
m2+
5
3
3
m
,
要使△OCP∽△PBQ,
則有
3-n
3
=
m-
3
3
,即
3+
2
3
m2-
5
3
3
m
3
=
m-
3
3
,
解之得,m1=2
3
,m2=
3

當(dāng)m1=2
3
時,n=2,
所以得Q(2
3
,2)
要使△OCP∽△QPB,則有
3-n
3
=
m-
3
3
,即
3+
2
3
m2-
5
3
3
m
3
=
m-
3
3

解之得,m1=3
3
,m2=
3
,
當(dāng)m=
3
時,即為P點,
當(dāng)m1=3
3
時,n=-3,
所以得Q(3
3
,-3).
故存在兩個Q點使得△OCP與△PBQ相似.Q點的坐標(biāo)為(2
3
,2),(3
3
,-3).

(3)在Rt△OCP中,
因為tan∠COP=
CP
OC
=
3
3

所以∠COP=30度.
當(dāng)Q點的坐標(biāo)為(2
3
,2)時,∠BPQ=∠COP=30度.
所以∠OPQ=∠OCP=∠B=∠QAO=90度.
因此,△OPC,△PQB,△OPQ,△OAQ都是直角三角形.
又在Rt△OAQ中,
因為tan∠QOA=
QA
AO
=
3
3

所以∠QOA=30度.
即有∠POQ=∠QOA=∠QPB=∠COP=30度.
所以△OPC∽△PQB∽△OQP∽△OQA,
又因為QP⊥OP,QA⊥OA,∠POQ=∠AOQ=30°,
所以△OQA≌△OQP.
點評:本題是一道涉及函數(shù)、相似、三角等知識的綜合題,解決第3題的關(guān)鍵在于通過觀察得出對結(jié)果的合理猜想在進行證明,難度應(yīng)該不會很大.
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,k=
 

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2
,b+ac=3.
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(2)求拋物線的解析式.

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(2)判斷點B所在象限,并說明理由;
(3)若直線y2=2x+m經(jīng)過點B,且于該拋物線交于另一點C(
ca
,b+8
),求當(dāng)x≥1時y1的取值范圍.

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