用數(shù)學(xué)歸納法證明：

．

【解析】首先證明當(dāng)n=1時等式成立，再假設(shè)n=k時等式成立，得到等式

，

下面證明當(dāng)n=k+1時等式左邊

，

根據(jù)前面的假設(shè)化簡即可得到結(jié)果，最后得到結(jié)論．

 

已知函數(shù)f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若對一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

當(dāng)時單調(diào)遞減；當(dāng)時單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最小值

于是對一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).　　　　　　　�、�

令則

當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.

故當(dāng)時，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即

從而，又

所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

 

已知，（其中）

⑴求及；

⑵試比較與的大小，并說明理由．

【解析】第一問中取，則；                         …………1分

對等式兩邊求導(dǎo)，得

取，則得到結(jié)論

第二問中，要比較與的大小，即比較：與的大小，歸納猜想可得結(jié)論當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

猜想：當(dāng)時，運用數(shù)學(xué)歸納法證明即可。

解：⑴取，則；                         …………1分

對等式兩邊求導(dǎo)，得，

取，則。       …………4分

⑵要比較與的大小，即比較：與的大小，

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；                              …………6分

猜想：當(dāng)時，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

由上述過程可知，時結(jié)論成立，

假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立，即，

當(dāng)時,

而

∴

即時結(jié)論也成立，

∴當(dāng)時，成立。                          …………11分

綜上得，當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時， 

 

在數(shù)列中， 記

（Ⅰ）求、、、并推測；

（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

【解析】第一問利用遞推關(guān)系可知，、、、，猜想可得

第二問中，①當(dāng)時，=，又，猜想正確

②假設(shè)當(dāng)時猜想成立，即，

當(dāng)時，

=

=，即當(dāng)時猜想也成立

兩步驟得到。

（2）①當(dāng)時，=，又，猜想正確

②假設(shè)當(dāng)時猜想成立，即，

當(dāng)時，

=

=，即當(dāng)時猜想也成立

由①②可知，對于任何正整數(shù)都有成立

 

已知數(shù)列的前項和為，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通項公式；

(Ⅱ) 設(shè) (N^*).

①證明： ；

② 求證：.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運用。運用關(guān)系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到，②由于，

所以利用放縮法，從此得到結(jié)論。

解：(Ⅰ)當(dāng)時，由得.  ……2分

若存在由得，

從而有，與矛盾，所以.

從而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①證明：

證法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

證法二：，下同證法一.           ……10分

證法三：（利用對偶式）設(shè)，，

則.又，也即，所以，也即，又因為，所以.即

                    ………10分

證法四：（數(shù)學(xué)歸納法）①當(dāng)時, ,命題成立;

   ②假設(shè)時,命題成立,即,

   則當(dāng)時,

    即

即

故當(dāng)時，命題成立.

綜上可知，對一切非零自然數(shù)，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

從而.

也即