將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中∠A₁CB₁=∠ACB=90°，∠A₁=∠A=30°．
（1）將圖1中△A₁B₁C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖2，點(diǎn)P₁是A₁C與AB的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是A₁B₁與BC的交點(diǎn)，求證：CP₁=CQ；
（2）在圖2中，若AP₁=a，則CQ等于多少？
（3）將圖2中△A₁B₁C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A₂B₂C（如圖3），點(diǎn)P₂是A₂C與AP₁的交點(diǎn)．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時(shí)，有△AP₁C∽△CP₁P₂？這時(shí)線段CP₁與P₁P₂之間存在一個(gè)怎樣的數(shù)量關(guān)系？．

將兩塊含30°角且大小相同的直角三角板如圖l擺放。  

（1）將圖l中△A₁B₁C繞點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)45°得到圖2，點(diǎn)P_l是A₁C與AB的交點(diǎn)，求證：

（2）將圖2中△A₁B₁C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到△A₂B₂C（如圖3），P₂是A₂C與AB的交點(diǎn)，線段CP₁與P₁P₂之間存在一個(gè)確定的等量關(guān)系，請(qǐng)你寫出這個(gè)等量關(guān)系式，并說(shuō)明理由；

（3）將圖3中線段CP₁繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到CP₃（如圖4）連結(jié)P₃P₂，求證：P₃P₂⊥AB。