Question

將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中∠A₁CB₁=∠ACB=90°，∠A₁=∠A=30°．
（1）將圖1中△A₁B₁C繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖2，點(diǎn)P₁是A₁C與AB的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是A₁B₁與BC的交點(diǎn)，求證：CP₁=CQ；
（2）在圖2中，若AP₁=a，則CQ等于多少？
（3）將圖2中△A₁B₁C繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)到△A₂B₂C（如圖3），點(diǎn)P₂是A₂C與AP₁的交點(diǎn)．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時，有△AP₁C∽△CP₁P₂？這時線段CP₁與P₁P₂之間存在一個怎樣的數(shù)量關(guān)系？．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△A₁B₁C和△ABC是兩個完全一樣的三角形，順時針旋轉(zhuǎn)45°兩個條件證明△B₁CQ≌△BCP₁，然后可求證：CP₁=CQ；
（2）作P₁D⊥AC于D，根據(jù)∠A=30，∠P₁CD=45°分別求出P₁D=

1

2

AP₁，CP₁=

2

P₁D=

2

2

AP₁，而AP₁=a可求CQ．
（3）當(dāng)△A P₁C∽△CP₁P₂時，∠P₁CP₂=∠P₁AC=30°，再根據(jù)相似求出CP₁與P₁P₂之間存在的數(shù)量關(guān)系．

解答：（1）證明：∵∠B₁CB=45°，∠B₁CA₁=90°，
∴∠B₁CQ=∠BCP₁=45°；
又B₁C=BC，∠B₁=∠B，
∴△B₁CQ≌△BCP₁（ASA）
∴CQ=CP₁；

（2）解：如圖：作P₁D⊥AC于D，
∵∠A=30°，
∴P₁D=

1

2

AP₁；
∵∠P₁CD=45°，
∴

P1D

CP1

=sin45°=

2

2

，
∴CP₁=

2

P₁D=

2

2

AP₁；
又AP₁=a，CQ=CP₁，
∴CQ=

2

2

a；

（3）解：當(dāng)∠P₁CP₂=∠P₁AC=30°時，由于∠CP₁P₂=∠AP₁C，則△AP₁C∽△CP₁P₂，
所以將圖2中△A₁B₁C繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)30°到△A₂B₂C時，有△AP₁C∽△CP₁P₂．
這時

P1 P2

CP1

=

CP1

AP1

=

2

2

，
∴P₁P₂=

2

2

CP₁．

點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的運(yùn)用．