已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O.焦點(diǎn)在x軸上.斜率為―1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A.B兩點(diǎn).且直線的基線共線. (I)求橢圓的離心率, 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,直線y=x+1與該橢圓相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=
10
2
.求橢圓的方程.

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精英家教網(wǎng)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,短軸長(zhǎng)為2,且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn).過(guò)右焦點(diǎn)F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)直線l的斜率為1時(shí),求△POQ的面積;
(3)在線段OF上是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,左焦點(diǎn)為F,左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M,
OM
=4
OF

(1)求橢圓的離心率e;
(2)過(guò)左焦點(diǎn)F且斜率為
2
的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn),若
OA
OB
=-2
,求橢圓的方程.

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已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
12
,點(diǎn)P(2,3)、A、B在該橢圓上,線段AB的中點(diǎn)T在直線OP上,且A、O、B三點(diǎn)不共線.
(I)求橢圓的方程及直線AB的斜率;
(Ⅱ)求△PAB面積的最大值.

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已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形,兩準(zhǔn)線間的距離為1.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)直線l過(guò)點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)△AOB面積取得最大值時(shí),求直線l的方程.

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一、選擇題

1―5 ADBAC    6―10 BCDCD    11―12 AB

二、填空題

13.24    14.24個(gè)    15.144     16.②

三、解答題

17.解:隨機(jī)猜對(duì)問(wèn)題A的概率p1,隨機(jī)猜對(duì)問(wèn)題B的概率p2.………1分

回答問(wèn)題的順序有兩種,分別討論如下:

   (1)先回答問(wèn)題A,再回答問(wèn)題B.

參與者獲獎(jiǎng)金額ξ可取0,m,m+n.,則

P(ξ=0)=1-p1,P(ξ=m)=p1(1-p2)=,P(ξ=m+n)=p1p2.

Eξ=0×+m×+(m+n)×.                   ………5分

   (2)先回答問(wèn)題B,再回答問(wèn)題A.

參與者獲獎(jiǎng)金額η可取0,n,m+n.,則

P(η=0)=1-p2,P(η=n)=p2(1-p1)=,P(η=m+n)=p2p1.

Eη=0×+n×+(m+n)×.                     ………9分

Eξ-Eη=()-()=

于是,當(dāng)時(shí),Eξ>Eη,先回答問(wèn)題A,再回答問(wèn)題B,獲獎(jiǎng)的期望值較大;

當(dāng)時(shí),Eξ=Eη,兩種順序獲獎(jiǎng)的期望值相等;

當(dāng)時(shí),Eξ<Eη,先回答問(wèn)題B,再回答問(wèn)題A,獲獎(jiǎng)的期望值較大. ………12分

18.解:(1)

  ………3分

∵角A為鈍角,

    ……………………………4分

取值最小值,

其最小值為……………………6分

   (2)由………………8分

,

…………10分

在△中,由正弦定理得:   ……12分

19.(Ⅰ)證法一:取的中點(diǎn)G,連結(jié)FG、AG,

依題意可知:GF是的中位線,

則  GF∥,

AE∥,

所以GF∥AE,且GF=AE,即四邊形AEFG為平行四邊形,………3分

則EF∥AG,又AG平面,EF平面,

所以EF∥平面.                            ………6分

證法二:取DC的中點(diǎn)G,連結(jié)FG,GE.

平面,∴FG∥平面.          

同理:∥平面,且,

∴平面EFG∥平面,                                    ………3分

平面,

∴EF∥平面.                                         ………6分

證法三:連結(jié)EC延長(zhǎng)交AD于K,連結(jié),E、F分別CK、CD1的中點(diǎn),

所以    FE∥D1K                          ………3分

∵FE∥D1K,平面,平面,∴EF∥平面.    ………6分

   (Ⅱ)解法一:⊥平面ABCD,過(guò)D在平面ABCD內(nèi)作DH⊥EC于H,連接D1H.

∵DH是D1H在平面ABCD內(nèi)的射影,∴D1H⊥EC.

∴∠DHD1為二面角的平面角。即∠DHD1=.         ………8分

在△DHD1中,tan∠DHD1=,∴,=,

,∴,∴,∴. ………12分

解法二:以D為原點(diǎn),AD、DC、DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。

D(0,0,0),D1(0,0,1),E(1,x,0)、C(0,2,0)。

平面DEC的法向量=(0,0,1),設(shè)為平面D1EC的法向量,

。  ………8分  

設(shè)二面角的大小為,∴cos=

,∴<2,∴。           ………12分

20.解(Ⅰ)設(shè),,橢圓的方程為.

∵直線平行于向量

=(3,1)共線

.

。                                ………2分

又∵、在橢圓上,∴,

=-1,                       ………4分

,∴,,∴.………6分

   (Ⅱ)設(shè),因?yàn)橹本AB過(guò),0),所以直線AB的方程為:,代入橢圓方程中得

,即,

,                      ………8分

,

,

,

,

又因?yàn)?sub>,∴!10分

,

,即。

的軌跡方程.                  ………12分

21.解:(1)①直線PQ的斜率,

,所以

即直線PQ的斜率.                              …………2分

,又,所以,

圖象上任一點(diǎn)切線的斜率k的取值范圍為.     …………4分

.                                              …………6分

   (2)當(dāng),根據(jù)(1)中②的結(jié)論,得到存在,,使得

,,                  …………9分

為單調(diào)遞減函數(shù),所以,即

,而,所以

,

因?yàn)?sub>,所以x>0,  1-x>0

所以   .                               …………12分

22.證明:(Ⅰ)連接OD,∵OD=OA,∴∠OAD=∠ODA,

∵OC∥AD, ∴∠OAD=∠BOC, ∠DOC=∠ODA.

∴∠DOC=∠BOC,∵OD=OB,OC=OC,

∴△DOC≌△BOC. ∴∠ODC=∠OBC.                               …………2分

∵BC是⊙O的切線, ∴∠OBC=90°, ∴∠ODC=90°,

∴DC是⊙O的切線.                                           …………5分

   (Ⅱ)連接BD, ∵AB是⊙0的直徑, ∴∠ADB=90°,∴∠OBC=∠ADB.

∵∠OAD=∠BOC. ∴△ADB∽△OBC. ∴,

                                                      …………10分

23.解:(Ⅰ)的參數(shù)方程為

。         …………5分

   (Ⅱ)由

可將,化簡(jiǎn)得。

將直線的參數(shù)方程代入圓方程得

,∴。  …………10分

24.證法一:∵,∴,又∵,

                ………5分

。    ………10分

證法二:設(shè)=,∵,

當(dāng)時(shí),

當(dāng),<0,是單調(diào)遞減函數(shù),………5分

,∴,

==;

==。

。          ………10分

 


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