Question

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=

10

2

．求橢圓的方程．

Answer 1

分析：先設橢圓方程的標準形式，然后與直線方程聯(lián)立消去y，得到兩根之和、兩根之積的關系式，再由OP⊥OQ，|PQ|=

10

2

可得到兩點坐標的關系式，然后再與兩根之和、兩根之積的關系式聯(lián)立可求a，b的值，從而可確定橢圓方程．

解答：解：設所求橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1.
依題意知，點P、Q的坐標滿足方程組
①②

x2 a2 + y2 b2 =1 y=x+1.

將②式代入①式，整理得
（a²+b²）x²+2a²x+a²（1-b²）=0，③
設方程③的兩個根分別為x₁，x₂，那么直線y=x+1與橢圓的交點為P（x₁，x₁+1），Q（x₂，x₂+1）．
由題設OP⊥OQ，|PQ|=

10

2

，可得

x1+1 x1 • x2+1 x2 =-1 (x2-x1)2+[(x2+1)-(x1+1)]2=( 10 2 )2.

整理得
④⑤

(x1+x2)+2x1x2+1=0 4(x1+x2)2-16x1x2-5=0.

解這個方程組，得

x1x2= 1 4 x1+x2=- 3 2

或

x1x2=- 1 4 x1+x2=- 1 2 .

根據(jù)根與系數(shù)的關系，由③式得
（Ⅰ）

2a2 a2+b2 = 3 2 a2(1-b2) a2+b2 = 1 4

或（Ⅱ）

2a2 a2+b2 = 1 2 a2(1-b2) a2+b2 =- 1 4 .

解方程組（Ⅰ），（Ⅱ），得

a2=2 b2= 2 3

或

a2= 2 3 b2=2.

故所求橢圓的方程為

x2

2

+

y2

2 3

=1，或

x2

2 3

+

y2

2

=1.

點評：本題主要考查直線與橢圓的綜合題．直線與圓錐曲線的綜合題一般是將兩方程聯(lián)立消去x或y得到一元二次方程，然后表示出兩根之和、兩根之積，再由題中條件可解題．