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命題p ：x∈R．x²<0是_______（填“全稱命題”或“特稱命題”），它是_____命題（填“真”或“假”）；它的否定是____，它是____命題（填“真”或“假”）．

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C組：

1、∥  ，

2、 (1)  ．

==

∵，∴，∴．

∴_max=．

(2)由已知，得 ．

=

=． 

1.3全稱量詞與存在量詞（二）量詞否定

教學(xué)目標(biāo)：利用日常生活中的例子和數(shù)學(xué)的命題介紹對(duì)量詞命題的否定，使學(xué)生進(jìn)一步理解全稱量詞、存在量詞的作用.

教學(xué)重點(diǎn)：全稱量詞與存在量詞命題間的轉(zhuǎn)化；

教學(xué)難點(diǎn)：隱蔽性否定命題的確定；

課    型：新授課

教學(xué)手段：多媒體

教學(xué)過(guò)程：

一、創(chuàng)設(shè)情境

數(shù)學(xué)命題中出現(xiàn)“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個(gè)”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個(gè)”、“至少有一個(gè)”等的詞語(yǔ)，在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞（用符號(hào)分別記為“ ”與“”來(lái)表示）；由這樣的量詞構(gòu)成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題。在全稱命題與存在性命題的邏輯關(guān)系中，都容易判斷，但它們的否定形式是我們困惑的癥結(jié)所在。

二、活動(dòng)嘗試

問(wèn)題1：指出下列命題的形式，寫出下列命題的否定。

（1）所有的矩形都是平行四邊形；

（2）每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；

（3）"xÎR，x²-2x+1≥0

分析：（1）"，否定：存在一個(gè)矩形不是平行四邊形；

（2），否定：存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)；

（3），否定：$xÎR，x²-2x+1<0；

這些命題和它們的否定在形式上有什么變化？

結(jié)論：從命題形式上看，這三個(gè)全稱命題的否定都變成了存在性命題.

三、師生探究$

問(wèn)題2：寫出命題的否定

（1）p：$ x∈R，x²＋2x+2≤0；

（2）p：有的三角形是等邊三角形；

（3）p：存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線互相垂直且平分；

分析：（1）" xÎR，x²＋2x+2>0；

（2）任何三角形都不是等邊三角形；

（3）對(duì)于所有的四邊形，它的對(duì)角線不可能互相垂直或平分；

從集合的運(yùn)算觀點(diǎn)剖析：,

四、數(shù)學(xué)理論

1.全稱命題、存在性命題的否定

一般地，全稱命題P：" xÎM,有P（x）成立；其否定命題┓P為：$x∈M,使P（x）不成立。存在性命題P：$xÎM，使P（x）成立；其否定命題┓P為：" xÎM,有P（x）不成立。

用符號(hào)語(yǔ)言表示：

P:"ÎM, p(x）否定為Ø P: $ÎM, Ø P（x）

P:$ÎM, p(x）否定為Ø P: "ÎM, Ø P（x）

在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱性的量詞，并把量詞作用范圍進(jìn)行否定。即須遵循下面法則：否定全稱得存在，否定存在得全稱，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

2.關(guān)鍵量詞的否定

詞語(yǔ)

是

一定是

都是

大于

小于

且

詞語(yǔ)的否定

不是

不一定是

不都是

小于或等于

大于或等于

或

詞語(yǔ)

必有一個(gè)

至少有n個(gè)

至多有一個(gè)

所有x成立

所有x不成立

詞語(yǔ)的否定

一個(gè)也沒有

至多有n-1個(gè)

至少有兩個(gè)

存在一個(gè)x不成立

存在有一個(gè)成立

否定一個(gè)命題常常堅(jiān)持三點(diǎn)互換：任意與存在互換，肯定與否定互換、或者與并且互換

五、鞏固運(yùn)用

例1  寫出下列全稱命題的否定：

（1）p：所有人都晨練；（2）p："xÎR，x²＋x+1>0；

（3）p：平行四邊形的對(duì)邊相等；（4）p：$ x∈R，x²－x+1＝0；

分析：（1）Ø P：有的人不晨練；（2）$ x∈R，x²＋x+1≤0；（3）存在平行四邊形，它的的對(duì)邊不相等；（4）"xÎR，x²－x+1≠0；

例2 寫出下列命題的否定。

（1） 所有自然數(shù)的平方是正數(shù)。 （2） 任何實(shí)數(shù)x都是方程5x-12=0的根。

（3） 對(duì)任意實(shí)數(shù)x，存在實(shí)數(shù)y，使x+y＞0. （4） 有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)。

解：（1）的否定：有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)。

（2）的否定：存在實(shí)數(shù)x不是方程5x-12=0的根。

（3）的否定：存在實(shí)數(shù)x,對(duì)所有實(shí)數(shù)y，有x+y≤0。

（4）的否定：所有的質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)。

解題中會(huì)遇到省略了“所有，任何，任意”等量詞的簡(jiǎn)化形式，如“若x＞3，則x²＞9”。在求解中極易誤當(dāng)為簡(jiǎn)單命題處理；這種情形下時(shí)應(yīng)先將命題寫成完整形式，再依據(jù)法則來(lái)寫出其否定形式。

例3 寫出下列命題的否定。

（1） 若x²＞4 則x＞2.。

（2） 若m≥0,則x²+x-m=0有實(shí)數(shù)根。

（3） 可以被5整除的整數(shù)，末位是0。

（4） 被8整除的數(shù)能被4整除。

（5） 若一個(gè)四邊形是正方形，則它的四條邊相等。
解（1）否定：存在實(shí)數(shù)，雖然滿足＞4，但≤2�；蛘哒f(shuō)：存在小于或等于2的數(shù)，滿足＞4。（完整表達(dá)為對(duì)任意的實(shí)數(shù)x, 若x²＞4 則x＞2）

（2）否定：雖然實(shí)數(shù)m≥0,但存在一個(gè)，使+ -m=0無(wú)實(shí)數(shù)根。（原意表達(dá)：對(duì)任意實(shí)數(shù)m,若m≥0,則x²+x-m=0有實(shí)數(shù)根。）

（3）否定：存在一個(gè)可以被5整除的整數(shù)，其末位不是0。

（4）否定：存在一個(gè)數(shù)能被8整除，但不能被4整除.(原意表達(dá)為所有能被8整除的數(shù)都能被4整除)

（5）否定：存在一個(gè)四邊形，雖然它是正方形，但四條邊中至少有兩條不相等。（原意表達(dá)為無(wú)論哪個(gè)四邊形，若它是正方形，則它的四條邊中任何兩條都相等。）

例4 寫出下列命題的否命題與否命題，并判斷其真假性�！�

（1）p：若x＞y,則5x＞5y；

（2）p：若x²+x?2,則x²-x?2；

（3）p：正方形的四條邊相等；

（4）p：已知a,b為實(shí)數(shù)，若x²+ax+b≤0有非空實(shí)解集，則a²-4b≥0。

解：（1）Ø P：若存在x＞y，則5x≤5y； 假命題

　　    否命題：若x≤y，則5x≤5y；真命題

（2）Ø P：若存在x,滿足x²+x?2，則x²-x≥2；真命題

　　    否命題：若x²+x≥2，則x²-x≥2）；假命題。

　 （3）Ø P：存在一個(gè)四邊形，盡管它是正方形，然而四條邊中至少有兩條邊不相等；假命題�！　�

否命題：若一個(gè)四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命題。

（4）Ø P：存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b，雖然滿足x2+ax+b≤0有非空實(shí)解集，但使a²-4b?0。假命題。

　　否命題：已知a,b為實(shí)數(shù)，若x2+ax+b≤0沒有非空實(shí)解集，則a²-4b?0。真命題。

評(píng)注：命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由：

1．任何命題均有否定，無(wú)論是真命題還是假命題；而否命題僅針對(duì)命題“若P則q”提出來(lái)的。

2．命題的否定（非）是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命題與原命題可能是同真同假，也可能是一真一假。

3． 原命題“若P則q” 的形式，它的非命題“若p，則Øq”；而它的否命題為 “若┓p，則┓q”，既否定條件又否定結(jié)論。

六、回顧反思

在教學(xué)中，務(wù)必理清各類型命題形式結(jié)構(gòu)、性質(zhì)關(guān)系，才能真正準(zhǔn)確地完整地表達(dá)出命題的否定，才能避犯邏輯性錯(cuò)誤，才能更好把邏輯知識(shí)負(fù)載于其它知識(shí)之上，達(dá)到培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。

七、課后練習(xí)

A組

1．命題p：存在實(shí)數(shù)m，使方程x²＋mx＋1＝0有實(shí)數(shù)根，則“非p”形式的命題是（      ）

A.存在實(shí)數(shù)m，使得方程x²＋mx＋1＝0無(wú)實(shí)根；

B.不存在實(shí)數(shù)m，使得方程x²＋mx＋1＝0有實(shí)根；

C.對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，使得方程x²＋mx＋1＝0有實(shí)根；

D.至多有一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得方程x²＋mx＋1＝0有實(shí)根；

2．有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是分?jǐn)?shù)”結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，是因?yàn)椋?nbsp;   ）

A．大前提錯(cuò)誤    B．小前提錯(cuò)誤      C．推理形式錯(cuò)誤   D．非以上錯(cuò)誤              

3．命題“"xÎR，x²-x+3>0”的否定是                     

4．“末位數(shù)字是0或5的整數(shù)能被5整除”的

否定形式是                                     

否命題是                                       

5．寫出下列命題的否定，并判斷其真假：

（1）p："m∈R，方程x²+x-m=0必有實(shí)根；

（2）q：$ÎR，使得x²+x+1≤0；

B組

6．寫出下列命題的“非P”命題，并判斷其真假：

（1）若m>1，則方程x²-2x+m=0有實(shí)數(shù)根．

（2）平方和為0的兩個(gè)實(shí)數(shù)都為0．

（3）若是銳角三角形， 則的任何一個(gè)內(nèi)角是銳角．

（4）若abc=0，則a,b,c中至少有一為0．

（5）若(x-1)(x-2)=0 ，則x≠1,x≠2．

書P16習(xí)題上Ex3、4

C組

1、已知、、三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，，

（1）若，求角的值；（2）若，求的值。

2、設(shè)平面內(nèi)的向量點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)取最小值時(shí)，的坐標(biāo)及的余弦值。

參考答案： 1． B，2．C，3．$ xÎR，x²-x+3≤0；4．否定形式：末位數(shù)是0或5的整數(shù)，不能被5整除；   否命題：末位數(shù)不是0且不是5的整數(shù)，不能被5整除

5．（1）Øp：$m∈R，方程x²+x-m=0無(wú)實(shí)根；真命題。

（2）Øq："ÎR，使得x²+x+1>0；真命題。

6． ⑴  若m>1，則方程x²-2x+m=0無(wú)實(shí)數(shù)根，(真)；

⑵平方和為0的兩個(gè)實(shí)數(shù)不都為0(假)；

⑶若是銳角三角形， 則的任何一個(gè)內(nèi)角不都是銳角(假)；

⑷若abc=0，則a,b,c中沒有一個(gè)為0(假)；

⑸若(x-1)(x-2)=0，則 或，(真)．

C組

1、（1）

由得    又     

（2）由，得

所以，=

2、設(shè)   點(diǎn)在直線上，與共線，而

  即   有.

故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)

     于是