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橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)一短軸頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的連接組成正三角形，且焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離等于3．過以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓上任意一點(diǎn)P作該圓的切線l，且l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）求

OA

•

OB

的取值范圍．

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一、填空題

1．； 2．；3．； 4．；5． 11； 6．210； 7．16； 8．③； 9．； 10．； 11．； 12．； 13．；  14．（結(jié)果為不扣分）.

二、解答題

15．（本小題滿分14分）

解：（1）50；0.04；0.10． ………… 6分

       （2）如圖．      ……………… 10分

       （3）在隨機(jī)抽取的名同學(xué)中有名

出線,．        ………… 13分

答：在參加的名中大概有63名同學(xué)出線．      

   ………………… 14分

16．（本小題滿分14分）

解：真，則有，即．              ------------------4分

真，則有，即．    ----------------9分

若、中有且只有一個(gè)為真命題，則、一真一假．

①若真、假，則，且，即≤； ----------------11分

②若假、真，則，且，即3≤．  ----------------13分

故所求范圍為：≤或3≤．                        -----------------14分

17．（本小題滿分15分）

解：（1）設(shè)方程有實(shí)根為事件．

數(shù)對(duì)共有對(duì)．                                   ------------------2分

若方程有實(shí)根，則≥，即．                 -----------------4分

則使方程有實(shí)根的數(shù)對(duì)有 共對(duì)．                                                        ------------------6分

所以方程有實(shí)根的概率．                          ------------------8分

（2）設(shè)方程有實(shí)根為事件．

，所以．           ------------------10分

方程有實(shí)根對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)?sub>，． -------------------12分

所以方程有實(shí)根的概率．                       ------------------15分

18．（本小題滿分15分）

解：(1)  ∴………………4分

(2)過的切線斜率．

∴切線方程為．

 準(zhǔn)線方程為． …………………8分

∴．∴． ………………………………12分

在單調(diào)遞增，∴，．                     

∴的取值范圍是-．             ………………………………15分

19．（本小題滿分16分）

解：（1）設(shè)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為，則且，解得，，即，故直線的方程為．由，解得．                   ------------------------5分

（2）因?yàn)?sub>，根據(jù)橢圓定義，得

，所以．又，所以．所以橢圓的方程為．                                     ------------------------10分

（3）假設(shè)存在兩定點(diǎn)為，使得對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)（除長軸兩端點(diǎn)）都有（為定值），即?，將代入并整理得…（＊）．

由題意，（＊）式對(duì)任意恒成立，所以，

解之得 或．

所以有且只有兩定點(diǎn)，使得為定值．   ---------------16分

（注：若猜出、點(diǎn)為長軸兩端點(diǎn)并求出定值，給3分）

20．（本小題滿分16分）

解：（1）．                       ------------------------2分

因?yàn)?sub>，令得；令得．所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．                                  ------------------------5分

（2）因?yàn)?sub>，設(shè)，則．----------6分

設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為，切線方程為即，由點(diǎn)在切線上知，化簡得，即．

所以僅可作一條切線，方程是．              ------------------------9分

（3），．                   

在上恒成立在上的最小值．--------------11分

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上最小值為，不符合題意，故舍去；               ------------------------12分

②當(dāng)時(shí)，令得．

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上遞增，的最小值為；解得．                                       ------------------------13分

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上遞減，的最小值為，無解；                                                -----------------------14分

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上遞減、在上遞增，所以的最小值為，無解．                ------------------------15分

綜上，所求的取值范圍為．                     ------------------------16分