如圖，橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，M是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，過(guò)F₁的直線(xiàn)l與橢圓交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，△MF₁F₂的面積為4，△ABF₂的周長(zhǎng)為8

2

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0），是否存在橢圓上的點(diǎn)P及以Q為圓心的一個(gè)圓，使得該圓與直線(xiàn)PF₁，PF₂都相切，如存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)及圓的方程，如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)x－y＋2＝0相切．

(1)求橢圓C的方程；
(2)已知點(diǎn)P(0，1)，Q(0，2)．設(shè)M、N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的不同兩點(diǎn)，直線(xiàn)PM與QN相交于點(diǎn)T，求證：點(diǎn)T在橢圓C上．

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評(píng)分說(shuō)明：

1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分參考制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則．

2．對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．

3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．

4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)．選擇題不給中間分．

一．選擇題

（1）D   （2）B   （3）B   （4）C   （5）B   （6）C

（7）C   （8）A   （9）B   （10）D （11）A （12）D

二．填空題

（13）300；  （14）480；  （15）①、②③或①、③②；  （16）103．

三．解答題

（17）解：

（Ⅰ）因?yàn)?sub>點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)三角函數(shù)定義可知，，，

所以．     2分

（Ⅱ）∵，，∴． 3分

由余弦定理，得 

．   5分

∵，∴，∴． 7分

∴，∴．     9分

故BC的取值范圍是．（或?qū)懗?sub>） 10分

（18）解：

（Ⅰ）記“恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過(guò)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的同學(xué)”為事件的，則其概率為

．      4分

（Ⅱ）隨機(jī)變量2，3，4，

；     6分

；  8分

．     10分

∴隨機(jī)變量的分布列為

2

3

4

P

∴．     12分

（19）證：

（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅?sub>是矩形∴，

又∵AB⊥BC，∴平面．     2分

∵平面，∴平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁．       3分

解：（Ⅱ）過(guò)A₁作A₁D⊥B₁B于D，連接，

∵平面，

∴BC⊥A₁D．

∴平面BCC₁B₁，

故∠A₁CD為直線(xiàn)與平面所成的角．

       5分

在矩形中，，

因?yàn)樗倪呅?sub>是菱形，∠A₁AB＝60°, CB＝3，AB＝4，

，． 7分

（Ⅲ）∵，∴平面．

∴到平面的距離即為到平面的距離． 9分

連結(jié)，與交于點(diǎn)O，

∵四邊形是菱形，∴．

∵平面平面，∴平面．

∴即為到平面的距離． 11分

，∴到平面的距離為．  12分

（20）解：

（Ⅰ）∵，     2分

由，得．

因?yàn)?sub>，所以，   4分

從而函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為． 5分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒有||≤3，即恒有成立．

即當(dāng)時(shí)， 6分

由（Ⅰ）可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

所以，．        ① 8分

又，，，

所以，．          ②       10分

由①②，解得．

所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恒有||≤3成立．    12分

（21）解：

（Ⅰ）由已知，，

由 解得  2分

∵，∴

軸，．  4分

∴，

∴成等比數(shù)列．    6分

（Ⅱ）設(shè)、，由

消，得  ，

∴   8分

∵

．     10分

∵，∴．∴，或．

∵m>0，∴存在，使得．     12分

（22）解：

（Ⅰ）由題意，，

又∵數(shù)列為等差數(shù)列，且，∴．   2分

∵，∴．     4分

（Ⅱ）的前幾項(xiàng)依次為

∵＝4，∴是數(shù)列中的第11項(xiàng)．       6分

（Ⅲ）數(shù)列中，項(xiàng)（含）前的所有項(xiàng)的和是：

，     8分

當(dāng)時(shí)，其和為，

當(dāng)時(shí)，其和為．      10分

又因?yàn)?009－1077＝932＝466×2，是2的倍數(shù)，

故當(dāng)時(shí)，．    1