如圖，點、、是相應橢圓的焦點，、和、分別是“果圓”與、軸的交點.

（1）若是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；

    （2）當時，求的取值范圍；

（3）連接“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦.試研究：是否存在實數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，說明理由.

圖6

我們把由半橢圓=1(x≥0)與半橢圓=1(x≤0)合成的曲線稱作“果圓”,其中a²=b²+c²,a＞0,b＞c＞0.

如圖6,點F₀、F₁、F₂是相應橢圓的焦點,A₁、A₂和B₁、B₂分別是“果圓”與x、y軸的交點.〔(文)M是線段A₁A₂的中點〕

(1)(理)若△F₀F₁F₂是邊長為1的等邊三角形,求“果圓”的方程.

(2)(理)當|A₁A₂|＞|B₁B₂|時,求的取值范圍.

(文)設P是“果圓”的半橢圓=1(x≤0)上任意一點,求證:當|PM|取得最小值時,P在點B₁、B₂或A₁處.

(3)(理)連結(jié)“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦.試研究:是否存在實數(shù)k,使斜率為k的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上?若存在,求出所有可能的k值;若不存在,請說明理由.

(文)若P是“果圓”上任意一點,求|PM|取得最小值時點P的橫坐標.

已知雙曲線G的中心在原點，它的漸近線與圓相切，過點P(－4,0)作斜率為的直線l，使得l和G交于A、B兩點，和y軸交于點C，并且點P在線段AB上，又滿足

（1）求雙曲線G的漸近線方程

（2）求雙曲線G的方程

（3）橢圓S的中心在原點，它的短軸是G的實軸，如果S中垂直于l的平行弦的中點軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分，求橢圓S的方程。