已知冪函數(shù)滿足。

（1）求實(shí)數(shù)k的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)的解析式；

（2）對(duì)于（1）中的函數(shù)，試判斷是否存在正數(shù)m，使函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為5。若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

【解析】本試題主要考查了函數(shù)的解析式的求解和函數(shù)的最值的運(yùn)用。第一問中利用，冪函數(shù)滿足，得到

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921574878204718/SYS201206192159381726566489_ST.files/image007.png">，所以k=0，或k=1，故解析式為

（2）由（1）知，，，因此拋物線開口向下，對(duì)稱軸方程為：，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸，和開口求解最大值為5.，得到

（1）對(duì)于冪函數(shù)滿足，

因此，解得，………………3分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921574878204718/SYS201206192159381726566489_ST.files/image007.png">，所以k=0，或k=1，當(dāng)k=0時(shí)，，

當(dāng)k=1時(shí)，，綜上所述，k的值為0或1，�！�……………6分

（2）函數(shù)，………………7分

由此要求，因此拋物線開口向下，對(duì)稱軸方程為：，

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間上的最大值為5，

所以，或…………………………………………10分

解得滿足題意

（(本小題共13分)

若數(shù)列滿足，數(shù)列為數(shù)列，記=.

（Ⅰ）寫出一個(gè)滿足，且〉0的數(shù)列；

（Ⅱ）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011；

（Ⅲ）對(duì)任意給定的整數(shù)n（n≥2），是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列，使得=0？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明理由。

【解析】：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A₅。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列A₅）

（Ⅱ）必要性：因?yàn)镋數(shù)列A₅是遞增數(shù)列，所以.所以A₅是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列.所以a₂₀₀₀=12+（2000—1）×1=2011.充分性，由于a₂₀₀₀—a₁₀₀₀1，a₂₀₀₀—a₁₀₀₀1……a₂—a₁1所以a₂₀₀₀—a19999，即a₂₀₀₀a₁+1999.又因?yàn)閍₁=12，a₂₀₀₀=2011,所以a₂₀₀₀=a₁+1999.故是遞增數(shù)列.綜上，結(jié)論得證。

已知函數(shù)的最小值為0，其中

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若對(duì)任意的有≤成立，求實(shí)數(shù)的最小值；

（Ⅲ）證明（）.

【解析】(1)解： 的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118530600520067_ST.files/image010.png">

由，得

當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：

因此，在處取得最小值，故由題意，所以

（2）解：當(dāng)時(shí)，取，有，故時(shí)不合題意.當(dāng)時(shí)，令，即

令，得

①當(dāng)時(shí)，，在上恒成立。因此在上單調(diào)遞減.從而對(duì)于任意的，總有，即在上恒成立，故符合題意.

②當(dāng)時(shí)，，對(duì)于，，故在上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時(shí)，，即不成立.

故不合題意.

綜上，k的最小值為.

（3）證明：當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊==右邊，所以不等式成立.

當(dāng)時(shí)，

在（2）中取，得 ，

從而

所以有

綜上，，

已知遞增等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若不等式對(duì)任意恒成立，試猜想出實(shí)數(shù)的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問中，利用設(shè)數(shù)列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項(xiàng)公式，第二問中，不等式等價(jià)于，利用當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價(jià)于，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對(duì)任意恒成立．

方法一：數(shù)學(xué)歸納法．

當(dāng)時(shí)，，成立．

假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，

當(dāng)時(shí)，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對(duì)任意，不等式恒成立．…14分

方法二：單調(diào)性證明．

要證 

只要證  ，  

設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，        …………10分

，    …………12分

所以對(duì)，都有，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．