(Ⅰ)若切線.的斜率分別為和.求證:為定值.并求出定值． 【查看更多】

 

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過軸上動(dòng)點(diǎn)引拋物線的兩條切線、，、為切點(diǎn)．

（Ⅰ）若切線，的斜率分別為和，求證：為定值，并求出定值；

（Ⅱ）求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)； 

（Ⅲ）當(dāng)最小時(shí)，求的值．

 

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 過軸上動(dòng)點(diǎn)引拋物線的兩條切線、，、為切點(diǎn)．

(1)若切線，的斜率分別為和，求證：

為定值，并求出定值；

(2) 求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)； 

(3)當(dāng)最小時(shí)，求的值．

 

 

 

 

 

 

 

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如圖，已知曲線與拋物線c2：x2=2py（p＞0）的交點(diǎn)分別為A、B，曲線c1和拋物線c2在點(diǎn)A處的切線分別為l1、l2，且l1、l2的斜率分別為k1、k2．
（Ⅰ）當(dāng)為定值時(shí)，求證k1•k2為定值（與p無關(guān)），并求出這個(gè)定值；
（Ⅱ）若直線l2與y軸的交點(diǎn)為D（0，-2），當(dāng)a2+b2取得最小值9時(shí)，求曲線c1和c2的方程．

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如圖，已知曲線與拋物線c2：x2=2py（p＞0）的交點(diǎn)分別為A、B，曲線c1和拋物線c2在點(diǎn)A處的切線分別為l1、l2，且l1、l2的斜率分別為k1、k2．
（Ⅰ）當(dāng)為定值時(shí)，求證k1•k2為定值（與p無關(guān)），并求出這個(gè)定值；
（Ⅱ）若直線l2與y軸的交點(diǎn)為D（0，-2），當(dāng)a2+b2取得最小值9時(shí)，求曲線c1和c2的方程．

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（本小題滿分14分）

過軸上動(dòng)點(diǎn)引拋物線的兩條切線、，、為切點(diǎn)，設(shè)切線，的斜率分別為和.

  (1)求證：;

(2) 試問：直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由. 

 

 

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一、             

二、11.210      12.         13.2    14.         15. 或或

三．解答題：

16. 解：（1）

……………………………………………………………3分

由題意得周期，故…………………………………………4分

又圖象過點(diǎn)，所以

即，而，所以

∴……………………………………………………6分

（2）當(dāng)時(shí)，

∴當(dāng)時(shí)，即時(shí)，是減函數(shù)

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，是增函數(shù)

∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是………………12分

17.解：記“甲回答對(duì)這道題”、“ 乙回答對(duì)這道題”、“丙回答對(duì)這道題”分別為事件、、，則，且有，即

∴……………………………………………………………………6分

（2）由（1）,.

則甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對(duì)該題的概率為：

……………………12分

18. 解法一 公理化法

（1）當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?sub>為正三角形，則，由于為的中點(diǎn)時(shí)，

∵平面,∴平面,∴.………………………………………………4分

（2）當(dāng)時(shí)，過作于,如圖所示，則底面,過作于,連結(jié)，則,為二面角的平面角，

又,

又，

,即二面角的大小為.…………………………………………………8分

(3)設(shè)到面的距離為，則,平面,

即為點(diǎn)到平面的距離，

又，

即解得，

即到平面的距離為.…………………………………………………………………………12分

解法二 向量法

以為原點(diǎn)，為軸，過點(diǎn)與垂直的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)，則

（1）由得，

則，

，………………………………4分

（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即

取，則，

又平面的一個(gè)法向量為

又由于二面角是一個(gè)銳角，則二面角的大小是.……………………8分

（3）設(shè)到面的距離為，

則

到平面的距離為.………………………………………………………………………12分

19. 解：(Ⅰ)由于，

故在點(diǎn)處的切線方程是…………………………………………2分

即，故與表示同一條直線，

，即，，.……6分

(Ⅱ) 由于，

則或，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是，…………………………8分

故或或

 

或或，或或

實(shí)數(shù)的取值范圍是.………………………………………………………12分

20. 解：（Ⅰ）設(shè)過與拋物線的相切的直線的斜率是，

則該切線的方程為：

由得

，

則都是方程的解，故………………………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)

由于，故切線的方程是：，又由于點(diǎn)在上，則

則，

，同理

則直線的方程是，則直線過定點(diǎn).………………………………………8分

（Ⅲ）要使最小，就是使得到直線的距離最小，

而到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).………………………………………………………………10分

設(shè)

由得，則

.…………13分

21. 解：(Ⅰ)由題意知即……1分

 …………3分

檢驗(yàn)知時(shí)，結(jié)論也成立

故.………………………………………………………………………………4分

(Ⅱ) ①由于

故 ………………………………………………9分

②若，其中，則有，則，

故，

取（其中表示不超過的最大整數(shù)），則當(dāng)時(shí)，. ………………………………………………………14分

 

 

 


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