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（本小題12分）
在某個以旅游業(yè)為主的地區(qū)，每年各個月份從事旅游服務工作的人數(shù)會發(fā)生周期性變化．現(xiàn)假設(shè)該地區(qū)每年各個月份從事旅游服務工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)來刻畫．其中：正整數(shù)表示月份且，例如時表示1月份；和是正整數(shù)；．
統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個月份從事旅游服務工作的人數(shù)有以下規(guī)律：
①各年相同的月份，該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)基本相同；
②該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差約400人；
③2月份該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多．
（I）試根據(jù)已知信息，確定一個符合條件的的表達式；
（II）一般地，當該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)超過400人時，該地區(qū)進入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪幾個月是該地區(qū)的旅游“旺季”？請說明理由．

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一、填空題：（5’×11＝55’）

題號

1

2

3

4

5

6

答案

0

2

題號

7

8

9

10

11

答案

4

8.3

②、③

二、選擇題：（4’×4＝16’）

題號

12

13

14

15

答案

A

C

B

B

三、解答題：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）

16.（理）解：設(shè)為橢圓上的動點，由于橢圓方程為，故．

因為，所以

    推出．

依題意可知，當時，取得最小值．而，

故有，解得．

又點在橢圓的長軸上，即. 故實數(shù)的取值范圍是．

…2

…6

…8

…10

…12

16.（文）解：由條件，可得，故左焦點的坐標為.

設(shè)為橢圓上的動點，由于橢圓方程為，故．

因為，所以

         ,

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當時，取得最小值4．

所以，的模的最小值為2，此時點坐標為.

…2

…6

…8

…10

…12

17. 解：（1）當時，；

當且時，；

當時，；（不單獨分析時的情況不扣分）

當時，.

（2） 由（1）知：當時，集合中的元素的個數(shù)無限；

當時，集合中的元素的個數(shù)有限，此時集合為有限集.

因為，當且僅當時取等號，

所以當時，集合的元素個數(shù)最少.

此時，故集合.

…2

…4

…6

…8

…12

…14

18.(理) （本題滿分15分，第1小題7分，第2小題8分）

解：（1）如圖，建立空間直角坐標系.不妨設(shè).

依題意，可得點的坐標，，.

    于是，，.

 由，則異面直線與所成角的大小為.

（2）解：連結(jié).  由，是的中點，得;

由面，面，得.

又，因此面

由直三棱柱的體積為.可得.

所以，四棱錐的體積為

.

…3

…7

…9

…11

…13

…15

18. （文）（本題滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

解：

 （2）解：如圖所示. 由，，則面.所以，四棱錐的體積為.

…3

…6

…10

…15

19．解：（1）根據(jù)三條規(guī)律，可知該函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為12.

由此可得，；

由規(guī)律②可知，，

；

又當時，，

所以，，由條件是正整數(shù)，故取.

 綜上可得，符合條件.

（2） 解法一：由條件，，可得

，

，

，.

因為，，所以當時，，

故，即一年中的7，8，9，10四個月是該地區(qū)的旅游“旺季”.

解法二：列表，用計算器可算得

月份

…

6

7

8

9

10

11

…

人數(shù)

…

383

463

499

482

416

319

…

故一年中的7，8，9，10四個月是該地區(qū)的旅游“旺季”.

…3

…6

…9

…10

…12

…14

…16

…15

…16

20.解：（1）依條件得： 則無窮等比數(shù)列各項的和為：

     ；

  （2）解法一：設(shè)此子數(shù)列的首項為，公比為，由條件得：，

則，即    

而  則 .

所以，滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項、公比均為，

其通項公式為，.

解法二：由條件，可設(shè)此子數(shù)列的首項為，公比為.

由………… ①

又若，則對每一都有………… ②

從①、②得；

則；

因而滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，此子數(shù)列是首項、公比均為無窮等比子數(shù)列，通項公式為，.

…4

…7

…9

…10

…7

…9

…10

（3）以下給出若干解答供參考，評分方法參考本小題閱卷說明：

問題一：是否存在數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由.

解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項和之積為1。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則

，

因為等式左邊或為偶數(shù)，或為一個分數(shù)，而等式右邊為兩個奇數(shù)的乘積，還是一個奇數(shù)。故等式不可能成立。所以這樣的兩個子數(shù)列不存在。

【以上解答屬于層級3，可得設(shè)計分4分，解答分6分】

問題二：是否存在數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和相等？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由.

解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項和相等。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則

………… ①

若且，則①，矛盾；若且，則①

，矛盾；故必有且，不妨設(shè)，則

①………… ②

1當時，②，等式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，矛盾；

2當時，②

或

   ，

兩個等式的左、右端的奇偶性均矛盾；

綜合可得，不存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們的各項和相等。

【以上解答屬于層級4，可得設(shè)計分5分，解答分7分】

問題三：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由.

解：假設(shè)存在滿足條件的原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則

，

顯然當時，上述等式成立。例如取，，得：

第一個子數(shù)列：，各項和；第二個子數(shù)列：，

各項和，有，因而存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍。

【以上解答屬層級3，可得設(shè)計分4分，解答分6分.若進一步分析完備性，可提高一個層級評分】

問題四：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？并說明理由. 解（略）：存在。

問題五：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？并說明理由. 解（略）：不存在.

【以上問題四、問題五等都屬于層級4的問題設(shè)計，可得設(shè)計分5分。解答分最高7分】

2008學年度第一學期上海市普陀區(qū)高三年級質(zhì)量調(diào)研數(shù)學試卷（文科）2008.12

說明：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應位置，本卷上任何解答都不作評分依據(jù)。

一、填空題（本大題滿分55分）本大題共有11小題，要求直接將結(jié)果填寫在答題紙對應的空格中.每個空格填對得5分，填錯或不填在正確的位置一律得零分.

1. 已知集合，集合,則            .

2. 拋物線的焦點坐標為              .

3. 已知函數(shù)，則          .

4. 設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，若，則