A．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，弧AB=弧AD，過A點(diǎn)的切線交CB的延長線于E點(diǎn)．
求證：AB²=BE•CD．
B．已知矩陣M

2 -3 1 -1

所對應(yīng)的線性變換把點(diǎn)A（x，y）變成點(diǎn)A′（13，5），試求M的逆矩陣及點(diǎn)A的坐標(biāo)．
C．已知圓的極坐標(biāo)方程為：ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0．
（1）將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值．
D．解不等式|2x-1|＜|x|+1．

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A．如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點(diǎn)P，E為⊙O上一點(diǎn)，AE=AC，DE交AB于點(diǎn)F．求證：△PDF∽△POC．
B．已知矩陣A=

.

1 -2 3 -7

.

．
（1）求逆矩陣A^-1；
（2）若矩陣X滿足AX=

3 1

，試求矩陣X．
C．坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)O與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C₁：ρcos（θ+

π

4

）=2

2

與曲線C₂：

x=4t2 y=4t

，（t∈R）交于A、B兩點(diǎn)．求證：OA⊥OB．
D．已知x，y，z均為正數(shù)，求證：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

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A．（極坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 已知圓ρ=3cosθ，則圓截直線

x=2+2t y=1+4t

（t是參數(shù)）所得的弦長為

 

；
B．（幾何證明選講選做題） 如圖：PA與圓O相切于A，PCB為圓O的割線，并且不過圓心O，已知∠BPA=30°，PA=2

3

，PC=1，則圓O的半徑等于

 

．

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一、填空題：（5’×11＝55’）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

答案

0

2

題號(hào)

7

8

9

10

11

答案

4

8.3

②、③

二、選擇題：（4’×4＝16’）

題號(hào)

12

13

14

15

答案

A

C

B

B

三、解答題：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）

16.（理）解：設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程為，故．

因?yàn)?sub>，所以

    推出．

依題意可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值．而，

故有，解得．

又點(diǎn)在橢圓的長軸上，即. 故實(shí)數(shù)的取值范圍是．

…2

…6

…8

…10

…12

16.（文）解：由條件，可得，故左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.

設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程為，故．

因?yàn)?sub>，所以

         ,

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值4．

所以，的模的最小值為2，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為.

…2

…6

…8

…10

…12

17. 解：（1）當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)且時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；（不單獨(dú)分析時(shí)的情況不扣分）

當(dāng)時(shí)，.

（2） 由（1）知：當(dāng)時(shí)，集合中的元素的個(gè)數(shù)無限；

當(dāng)時(shí)，集合中的元素的個(gè)數(shù)有限，此時(shí)集合為有限集.

因?yàn)?sub>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)時(shí)，集合的元素個(gè)數(shù)最少.

此時(shí)，故集合.

…2

…4

…6

…8

…12

…14

18.(理) （本題滿分15分，第1小題7分，第2小題8分）

解：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè).

依題意，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，，.

    于是，，.

 由，則異面直線與所成角的大小為.

（2）解：連結(jié).  由，是的中點(diǎn)，得;

由面，面，得.

又，因此面

由直三棱柱的體積為.可得.

所以，四棱錐的體積為

.

…3

…7

…9

…11

…13

…15

18. （文）（本題滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

解：

 （2）解：如圖所示. 由，，則面.所以，四棱錐的體積為.

…3

…6

…10

…15

19．解：（1）根據(jù)三條規(guī)律，可知該函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為12.

由此可得，；

由規(guī)律②可知，，

；

又當(dāng)時(shí)，，

所以，，由條件是正整數(shù)，故取.

 綜上可得，符合條件.

（2） 解法一：由條件，，可得

，

，

，.

因?yàn)?sub>，，所以當(dāng)時(shí)，，

故，即一年中的7，8，9，10四個(gè)月是該地區(qū)的旅游“旺季”.

解法二：列表，用計(jì)算器可算得

月份

…

6

7

8

9

10

11

…

人數(shù)

…

383

463

499

482

416

319

…

故一年中的7，8，9，10四個(gè)月是該地區(qū)的旅游“旺季”.

…3

…6

…9

…10

…12

…14

…16

…15

…16

20.解：（1）依條件得： 則無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為：

     ；

  （2）解法一：設(shè)此子數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由條件得：，

則，即    

而  則 .

所以，滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項(xiàng)、公比均為，

其通項(xiàng)公式為，.

解法二：由條件，可設(shè)此子數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為.

由………… ①

又若，則對每一都有………… ②

從①、②得；

則；

因而滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，此子數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為無窮等比子數(shù)列，通項(xiàng)公式為，.

…4

…7

…9

…10

…7

…9

…10

（3）以下給出若干解答供參考，評分方法參考本小題閱卷說明：

問題一：是否存在數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由.

解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項(xiàng)和之積為1。設(shè)這兩個(gè)子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，其中且或，則

，

因?yàn)榈仁阶筮吇驗(yàn)榕紨?shù)，或?yàn)橐粋�(gè)分?jǐn)?shù)，而等式右邊為兩個(gè)奇數(shù)的乘積，還是一個(gè)奇數(shù)。故等式不可能成立。所以這樣的兩個(gè)子數(shù)列不存在。

【以上解答屬于層級3，可得設(shè)計(jì)分4分，解答分6分】

問題二：是否存在數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和相等？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由.

解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項(xiàng)和相等。設(shè)這兩個(gè)子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，其中且或，則

………… ①

若且，則①，矛盾；若且，則①

，矛盾；故必有且，不妨設(shè)，則

①………… ②

1當(dāng)時(shí)，②，等式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，矛盾；

2當(dāng)時(shí)，②

或

   ，

兩個(gè)等式的左、右端的奇偶性均矛盾；

綜合可得，不存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們的各項(xiàng)和相等。

【以上解答屬于層級4，可得設(shè)計(jì)分5分，解答分7分】

問題三：是否存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由.

解：假設(shè)存在滿足條件的原數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列。設(shè)這兩個(gè)子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，其中且或，則

，

顯然當(dāng)時(shí)，上述等式成立。例如取，，得：

第一個(gè)子數(shù)列：，各項(xiàng)和；第二個(gè)子數(shù)列：，

各項(xiàng)和，有，因而存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍。

【以上解答屬層級3，可得設(shè)計(jì)分4分，解答分6分.若進(jìn)一步分析完備性，可提高一個(gè)層級評分】

問題四：是否存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍？并說明理由. 解（略）：存在。

問題五：是否存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍？并說明理由. 解（略）：不存在.

【以上問題四、問題五等都屬于層級4的問題設(shè)計(jì)，可得設(shè)計(jì)分5分。解答分最高7分】

2008學(xué)年度第一學(xué)期上海市普陀區(qū)高三年級質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（文科）2008.12

說明：本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應(yīng)位置，本卷上任何解答都不作評分依據(jù)。

一、填空題（本大題滿分55分）本大題共有11小題，要求直接將結(jié)果填寫在答題紙對應(yīng)的空格中.每個(gè)空格填對得5分，填錯(cuò)或不填在正確的位置一律得零分.

1. 已知集合，集合,則            .

2. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為              .

3. 已知函數(shù)，則          .

4. 設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，若，則