（2009•閔行區(qū)二模）（理）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=1，點E在棱AB上移動．
（1）探求AE等于何值時，直線D₁E與平面AA₁D₁D成45°角；
（2）點E移動為棱AB中點時，求點E到平面A₁DC₁的距離．

（2012•江蘇二模）如圖，已知橢圓C：

x2

4

+y2=1，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個頂點．
（1）設(shè)P是橢圓C上任意一點，若

OP

=m

OA

+n

OB

，求證：動點Q（m，n）在定圓上運動，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．

已知定義在R上的二次函數(shù)R（x）=ax²+bx+c滿足2^R（-x）-2^R（x）=0，且R（x）的最小值為0，函數(shù)h（x）=lnx，又函數(shù)f（x）=h（x）-R（x）．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；  
（II）當(dāng)a≤

1

2

時，若x₀∈[1，3]，求f（x₀）的最小值；
（III）若二次函數(shù)R（x）圖象過（4，2）點，對于給定的函數(shù)f（x）圖象上的點A（x₁，y₁），當(dāng)x1=

3

2

時，探求函數(shù)f（x）圖象上是否存在點B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B連線平行于x軸，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：e=2.71828…）

對某班學(xué)生是更喜歡體育還是更喜歡文娛進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查得到的數(shù)據(jù)，所繪制的二維條形圖如圖．
（I）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，制作2×2列聯(lián)表；
（II）若要從更喜歡體育的學(xué)生中隨機選3人，組成體育愛好者交流小組，去外校參觀學(xué)習(xí)，求小組中含女生人數(shù)的分布列和期望．

已知定義在R上的二次函數(shù)R（x）=ax²+bx（a＞0）是偶函數(shù)，函數(shù)f（x）=2lnx-R（x）．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；  
（II）當(dāng)a≤1時，若x₀∈[1，2]，求f（x₀）的最大值；
（III）若二次函數(shù)R（x）圖象過（1，1）點，對于給定的函數(shù)f（x）圖象上的點A（x₁，y₁），當(dāng)x₁=

1

e

時，探求函數(shù)f（x）圖象上是否存在點B（x₂，y₂）（x₂＞1），使A、B連線平行于x軸，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：e=2.71828…）