平面圖形ABB₂A₂C₃C如圖4所示，其中BB₁C₁C是矩形，BC=2，BB₁=4，AB=AC=，A₁B₁=A₁C₁=．現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和B₁C₁折疊，使△ABC與△A₁B₁C₁所在平面都與平面BB₁C₁C垂直，再分別連接A₂A，A₂B，A₂C，得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題．
（Ⅰ）證明：AA₁⊥BC；
（Ⅱ）求AA₁的長；
（Ⅲ）求二面角A-BC-A₁的余弦值．

dyr232

三、解答題.（12×5+10=70分,答案寫在答題紙的答題區(qū)內(nèi).）

17．（Ⅰ）∵ m?n                                                     ……… 2分

∴，解得                                              ……… 6分

（Ⅱ）           ……… 8分

∵，∴                                          ………10分

∴的值域為[]                                                       ………12分

18．（Ⅰ）把一根長度為8的鐵絲截成3段，且三段的長度均為整數(shù)，共有21種解法．

(可視為8個相同的小球放入3個不同盒子，有種方法)   …   3分

其中能構(gòu)成三角形的情況有3種情況：“2，3，3”、“3，2，3”、“3，3，2”．

則所求的概率是                                                         ……… 6分

（Ⅱ）根據(jù)題意知隨機變量                                               ……… 8分

∴              ……12分

19．（Ⅰ）∵點A、D分別是、的中點，∴. …… 2分

∴∠=90º.∴.∴ ,                                                   

∵,∴⊥平面.                       ……… 4分

∵平面,∴.                                                ……… 5分

（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系．

則（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.

∴=（－1，1，0），=（1，0，1）,  …6分

設(shè)平面的法向量為=（x，y，z），則：

，                                                     ……… 8分

令，得，∴=（1，1，－1）

顯然，是平面的一個法向量，=（）．       ………10分

∴cos<，>=． 

∴二面角的平面角的余弦值是.                    ………12分

20．（Ⅰ）                                                                       ……… 4分

（Ⅱ）由橢圓的對稱性知：PRQS為菱形，原點O到各邊距離相等………            5分

⑴當P在y軸上時，易知R在x軸上，此時PR方程為，

．                                                       ……… 6分

⑵當P在x軸上時，易知R在y軸上，此時PR方程為，

．                                                       ……… 7分

⑶當P不在坐標軸上時，設(shè)PQ斜率為k，、

P在橢圓上，.......①；R在橢圓上，....

②利用Rt△POR可得　           ……… 9分

即　

整理得　．                                               ………11分

再將①②帶入，得

綜上當時，有．                ………12分

21．（Ⅰ）時，單調(diào)遞減，

當單調(diào)遞增。

①若無解；

②若

③若時，上單調(diào)遞增，

；

所以                                               ……… 4分

（Ⅱ）則

設(shè)則時，

單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

所以因為對一切

恒成立，所以；                                             ……… 8分

（Ⅲ）問題等價于證明，

由（Ⅰ）可知

當且僅當時取到，設(shè)

則，當且僅當時取到，

從而對一切成立．                ………12分

22．（Ⅰ）連接OC，∵OA=OB，CA=CB  ∴OC⊥AB∴AB是⊙O的切線         … 5分

（Ⅱ）∵ED是直徑，∴∠ECD=90°∴∠E+∠EDC=90°

又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E

又∵∠CBD+∠EBC，∴△BCD∽△BEC       ∴  ∴BC²=BD•BE

∵tan∠CED=,∴∵△BCD∽△BEC, ∴

設(shè)BD=x,則BC=2      又BC²=BD•BE，∴(2x)²=x•(x+6)

解得x₁=0,x₂=2, ∵BD>0, ∴BD=2∴OA=OB=BD+OD=3+2=5    … 10分

23．（Ⅰ）                                                             …  5分

（Ⅱ）                                                                  … 10分

23．（Ⅰ），                                                                              …  5分

（Ⅱ）

                           … 10分