Question

已知平面四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AC⊥BD，且BA=BC=4，DA=DC=2

3

，∠ABC=60°．現(xiàn)沿對角線AC將三角形DAC翻折，使得平面DAC⊥平面BAC．翻折后：
（Ⅰ）證明：AC⊥BD；
（Ⅱ）記M，N分別為AB，DB的中點．①求二面角N-CM-B大小的余弦值；②求點B到平面CMN的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明線面垂直，然后利用線面垂直的性質(zhì)證明AC⊥BD．
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的大小和點到平面的距離．

解答：解：（Ⅰ）證明：因為AC⊥BD，且BA=BC=4，DA=DC=2

3

，
所以0為AC的中點，
所以AC⊥DO，AC⊥OB，所以AC⊥面BOD，所以AC⊥BD．
（II）①因為平面DAC⊥平面BAC．所以D0⊥面ABC．
以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)A，OB，OD分別為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，
則A（2，0，0），C（-2，0，0），B（0，2

3

，0），D（0，0，2

2

），
則M（1，

3

，0），N（0，

3

，

2

）．則

CM

=(3，

3

，0)，

MN

=(-1，0，

2

)．
則平面BCM的法向量為

n

=(0，0，1)，
設(shè)平面NCM的法向量為

m

=(x，y，z)，則

MN • m =0 CM • m =0

，
即

-x+ 2 z=0 3x+ 3 y=0

，令z=

2

，則x=2，y=-2

3

．即

m

=(2，-2

3

，

2

)．
所以cosθ=cos＜

m

，

n

＞=

m ? n

| m |?| n |

=

2

22+(-2 3 )2+( 2 )2

=

2

18

=

1

3

，
所以二面角N-CM-B大小的余弦值為

1

3

．
②

MB

=(-1，

3

，0)，平面NCM的法向量為

m

=(2，-2

3

，

2

)．
點B到平面CMN的距離d=

| MB ? m |

| m |

=

|-2-2 3 × 3 |

22+(-2 3 )2+( 2 )2

=

8

18

=

4 2

3

，
故點B到平面CMN的距離為

4 2

3

．

點評：本題主要考查空間線面垂直的位置關(guān)系，以及利用空間向量法求二面角的大小和點到直線的距離，運算量較大，綜合性較強(qiáng)．