題目列表(包括答案和解析)
(08年沈陽(yáng)二中四模文) 已知點(diǎn),點(diǎn)在軸上,點(diǎn)在軸的正半軸上,點(diǎn)在直線上,且滿足,。
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡;
(Ⅱ)過(guò)定點(diǎn)作直線交軌跡于兩點(diǎn),試問(wèn)在軸上是否存在一點(diǎn),使得成立;
(08年沈陽(yáng)二中四模文)已知點(diǎn),點(diǎn)在軸上,點(diǎn)在軸的正半軸上,點(diǎn)在直線上,且滿足,。
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡;
(Ⅱ)過(guò)定點(diǎn)作直線交軌跡于兩點(diǎn),試問(wèn)在軸上是否存在一點(diǎn),使得成立;
(本小題滿分13分)
已知橢圓的兩焦點(diǎn)在軸上, 且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問(wèn):在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q,使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)Q ?若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
(本小題滿分13分)
已知橢圓的兩焦點(diǎn)在軸上, 且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問(wèn):在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q,使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)Q ?若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,短軸兩個(gè)端點(diǎn)為,且四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形。
(1)求橢圓方程; (2)若分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,連接,交橢圓于點(diǎn)。證明:為定值;
(3)在(2)的條件下,試問(wèn)軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過(guò)直線的交點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
1.C 2.A 3.A 4.D 5. D 6.B 7. B 8. A 9. B 10.D
11. 12. 2 13. 14. 15.
16.解:(1)∵,∴,
∵,∴, 即邊的長(zhǎng)度為。
(2)由,得…………①
,即…………②
由①②得,由正弦定理,∴,即證。
17. 解:(1)∵函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為要使在區(qū)間上為增函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)且。
依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果為,即
共15個(gè)整點(diǎn)。
所求事件為,即共5個(gè)整點(diǎn),∴所求事件
的概率為。
(2)隨機(jī)變量的取值有:2,3,4,5,6。的隨機(jī)分布列為:
2
3
4
5
6
隨機(jī)變量的期望。
18.解法一:(1)易求,從而,由三垂線定理知:。
(2)法一:易求由勾股定理知,設(shè)點(diǎn)在面內(nèi)的射影為,過(guò)作于,連結(jié),則為二面角的平面角。在中由面積法易求,由體積法求得點(diǎn)到面的距離是
,所以,所以求二面角的大小為。
法二:易求由勾股定理知,過(guò)作于,又過(guò)作交于,連結(jié)。則易證為二面角的平面角。在中由面積法易求,從而于是,所以
,在中由余弦定理求得。再在中由余弦定理求得。最后在中由余弦定理求得,所以求二面角的大小為。
(3)設(shè)AC與BD交于O,則OF//CM,所以CM//平面FBD,當(dāng)P點(diǎn)在M或C時(shí),三棱錐P―BFD的體積的最小。。
解法二:空間向量解法,略。
19.解:(1)
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),此時(shí)函數(shù)遞減;當(dāng)時(shí),此時(shí)函數(shù)遞增;當(dāng)時(shí),取極小值,其極小值為0。
(2)由(1)可知函數(shù)和的圖像在處有公共點(diǎn),因此若存在和的分界直線,則該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)。設(shè)分界直線的斜率為則直線方程為即由可得當(dāng)時(shí)恒成立
由得。
下面證明當(dāng)時(shí)恒成立。
令則
當(dāng)時(shí),。當(dāng)時(shí),此時(shí)函數(shù)遞增;當(dāng)時(shí),此時(shí)函數(shù)遞減;當(dāng)時(shí),取極大值,其極大值為0。
從而即恒成立。
函數(shù)和存在唯一的分界直線。
20.解:(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則:
,從而:,故,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。
(2)設(shè),則圓方程為,與圓聯(lián)立消去得的方程為,過(guò)定點(diǎn)。
(3)將與橢圓方程聯(lián)立成方程組消去得:
,設(shè),則。
,
所以。
故存在定點(diǎn),使恒為定值。
21.解:(1)法一:數(shù)學(xué)歸納法;
法二:
所以為首項(xiàng)為公比為2的等比數(shù)列,
,即證。
法三:,兩邊同除以,轉(zhuǎn)化為疊加法求數(shù)列通項(xiàng)類(lèi)型。
(2)法一:容易證明單調(diào)遞增,。由函數(shù)割線斜率與中點(diǎn)切線斜率的關(guān)系想到先證,即證,即證
。令下證。事實(shí)上,構(gòu)造函數(shù),則
,,所以在上單調(diào)遞增,故,則,即證。
于是由有,
(因?yàn)?sub>)。
法二:要證,即證
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