Question

（本小題滿分13分）

已知橢圓的兩焦點(diǎn)在軸上, 且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)Q ?若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）存在定點(diǎn)Q,則Q的坐標(biāo)只可能為。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由橢圓兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,

又斜邊長(zhǎng)為2,即 故,

橢圓方程為.                    ……………（4分）

（Ⅱ）當(dāng)與x軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為;

當(dāng)與y軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為

,故若存在定點(diǎn)Q,則Q的坐標(biāo)只可能為（6分）

下證明為所求:

若直線斜率不存在,上述已經(jīng)證明.設(shè)直線,

,

,       ……………………（8分）

……（10分）

 

,即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn).      ………（13分）

注: 此題直接設(shè),得到關(guān)于的恒成立問題也可求解.

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓、標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)。（II）小題中，運(yùn)用平面向量的數(shù)量積，“化證為算”，達(dá)到證明目的。