題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)在△ABC中,已知∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c,且∠C=2∠A.
(Ⅰ)若△ABC為銳角三角形,求的取值范圍;
(Ⅱ)若,求b的值.
(本小題滿分13分)在中,角的對(duì)邊分別為,且成等差數(shù)列。(1)若,且,求的值;(2)求的取值范圍。
(本小題滿分12分)
在中,為銳角,角所對(duì)應(yīng)的邊分別為,且。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求的值。
(本小題共14分)
已知橢圓的中點(diǎn)在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,點(diǎn)是其左頂點(diǎn),點(diǎn)C在橢圓上且
(I)求橢圓的方程;
(II)若平行于CO的直線和橢圓交于M,N兩個(gè)不同點(diǎn),求面積的最大值,并求此時(shí)直線的方程.
(本小題共12分) 在平面直角坐標(biāo)系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(n∈N*),滿足向量與向量共線,且點(diǎn)An(n,an) (n∈N*)都在斜率為2的同一條直線l上. 若a1=-3,b1=10 (1)求數(shù)列{an}與{ bn }的通項(xiàng)公式;
(2)求當(dāng)n取何值時(shí)△AnBnCn的面積Sn最小,并求出Sn的這個(gè)最小值。
一.選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.)
D C B B C D C A C C A A
二.填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.)
(13) (14) (15)―1 (16)
三.解答題
(17)(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ):
. 3分
依題意,的周期,且,∴ .∴.
∴ . 5分
∵ [0,], ∴ ≤≤,∴ ≤≤1,
∴ 的最小值為 ,即 ∴ .
∴ . 7分
(Ⅱ)∵ =2, ∴ .
又 ∵ ∠∈(0,), ∴ ∠=. 9分
在△ABC中,∵ ,,
∴ ,.解得 .
又 ∵ 0, ∴ . 12分
(18)(本小題滿分12分)
解:以A點(diǎn)為原點(diǎn),AB為軸,AD為軸,AD
為軸的空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.則依題意可知相
關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,0,0),B(,0,0),
C(,1,0),D(0,1,0),S(0,0,1),
∴ M(,1,0),N(,,). 2分
∴ (0,,),(,0,0),(,,). 4分
∴ ,.∴ ,.
∴ MN ⊥平面ABN. 6分
(Ⅱ)設(shè)平面NBC的法向量為(,,),則,.且又易知 ,.
∴ 即 ∴
令,則(,0,). 9分
顯然,(0,,)就是平面ABN的法向量.
∴ .
∴ 二面角的余弦值是. 12分
(19)(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由題意得
(); 3分
同理可得();
(). 5分
(Ⅱ). 8分
(Ⅲ)由上問知 ,即是關(guān)于的三次函數(shù),設(shè)
,則.
令,解得 或 (不合題意,舍去).
顯然當(dāng) 時(shí),;當(dāng) 時(shí),.
∴ 當(dāng)年產(chǎn)量 時(shí),隨機(jī)變量 的期望 取得最大值. 12分
(20)(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)設(shè)(,)是函數(shù) 的圖象上任意一點(diǎn),則容易求得點(diǎn)關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)為(,),依題意點(diǎn)(,)在的圖象上,
∴ . ∴ . 2分
∴ .
∵ 是 的一個(gè)極值點(diǎn),∴ ,解得 .
∴ 函數(shù) 的表達(dá)式是 (). 4分
∴ .
∵ 函數(shù) 的定義域?yàn)椋?sub>), ∴ 只有一個(gè)極值點(diǎn),且顯然當(dāng)
時(shí),;當(dāng)時(shí),.
∴ 函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是;單調(diào)遞減區(qū)間是. 6分
(Ⅱ)由 ,
得 ,∴ . 9分
∴ 在 時(shí)恒成立.
∴ 只需求出 在 時(shí)的最大值和 在
時(shí)的最小值,即可求得 的取值范圍.
∵ (當(dāng) 時(shí));
(當(dāng) 時(shí)).
∴ 的取值范圍是 . 12分
(21)(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)∵ ,
∴.
設(shè)O關(guān)于直線 的
對(duì)稱點(diǎn)為的橫坐標(biāo)為 .
又易知直線 解得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)
為(1,-3).∴.
∴ 橢圓方程為 . 5分
(Ⅱ)顯然直線AN存在斜率,設(shè)直線AN的方程為 ,代入 并整理得:.
設(shè)點(diǎn),,則.
由韋達(dá)定理得 ,. 8分
∵ 直線ME方程為 ,令,得直線ME與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo) .
將,代入,并整理得 . 10分
再將韋達(dá)定理的結(jié)果代入,并整理可得.
∴ 直線ME與軸相交于定點(diǎn)(,0). 12分
(22)(本小題滿分14分)
證明:(Ⅰ)∵ ,,且 (,N?),
∴ . 2分
將 去分母,并整理得 . 5分
∴ ,,……,,
將這個(gè)同向不等式相加,得 ,∴ . 7分
(Ⅱ)∵ ,∴ . 9分
∴ .即 . 11分
∴ ,即
. 14分
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