Question

（本小題共12分） 在平面直角坐標(biāo)系中,已知A_n(n,a_n)、B_n(n,b_n)、C_n(n-1,0)(n∈N*)，滿足向量與向量共線，且點(diǎn)A_n(n,a_n) (n∈N*)都在斜率為2的同一條直線l上. 若a₁=-3，b₁=10　（1）求數(shù)列{a_n}與{ b_n }的通項(xiàng)公式；

（2）求當(dāng)n取何值時(shí)△A_nB_nC_n的面積S_n最小，并求出S_n的這個(gè)最小值。 

Answer 1

(Ⅰ)   b_n= n²-6n+15 (Ⅱ) n=4  S_n的最小值為2

解析:

（1）∵點(diǎn)A_n(n,a_n) (n∈N*)都在斜率為2的同一條直線上，[來源:學(xué)§科§網(wǎng)Z§X§X§K]

∴=2，即a_n+1-a_n=2,

于是數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，又a₁=-3，故a_n= -3+2(n-1)=2n-5.

∵共線.

∴1×(-a_n)-(-1)(b_n+1 - b_n )=0,即b_n+1-b_n=a_n

∴當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=b₁+(b₂-b₁)+(b₃-b₂)+ …+(b_n-b_n-1)

=b₁+a₁+a₂+a₃+…+a_n-1

=10+ (n-1)(n-5)=n²-6n+15

當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立.。 所以b_n= n²-6n+15

（2）顯然，直線A_nB_n⊥x軸，點(diǎn)C_n到直線A_nB_n的距離等于1.

所以S_n=[來源:Zxxk.Com]

∴當(dāng)n=4時(shí)，S_n取最小值，S_n的最小值為2.