題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分13分）
已知橢圓
的兩焦點在
軸上, 且兩焦點與短軸的一個頂點的連線構(gòu)成斜邊長為2的等腰直角三角形。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點
的動直線
交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點Q，使得以AB為直徑的圓恒過點Q ?若存在求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。
（本小題滿分13分）
已知橢圓
的兩焦點在
軸上, 且兩焦點與短軸的一個頂點的連線構(gòu)成斜邊長為2的等腰直角三角形。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點
的動直線
交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點Q，使得以AB為直徑的圓恒過點Q ?若存在求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。
（a>b>0)的左、右焦點分別為
，短軸兩個端點為.A、B且四邊形
是邊長為2的正方形.
圓的方程；
為定值；
過直線DP,MQ的交點.若存在，求出點Q的坐標；若不存在,說明理由.（本小題滿分13分）
給定橢圓
，稱圓心在坐標原點
，半徑為
的圓是橢圓
的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個焦點為
，其短軸上的一個端點到
距離為
．
（Ⅰ）求橢圓及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若過點
的直線
與橢圓C只有一個公共點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為
，求
的值；
（Ⅲ）過橢圓C“伴橢圓”上一動點Q作直線
，使得與橢圓C都只有一個公共點，試判斷直線的斜率之積是否為定值,并說明理由.
（本小題滿分13分）
給定橢圓
，稱圓心在坐標原點
，半徑為
的圓是橢圓
的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個焦點為
，其短軸上的一個端點到
距離為
．
（Ⅰ）求橢圓及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若過點
的直線
與橢圓C只有一個公共點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為
，求
的值；
（Ⅲ）過橢圓C“伴橢圓”上一動點Q作直線
，使得與橢圓C都只有一個公共點，試判斷直線的斜率之積是否為定值,并說明理由.
說明：
一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制定相應的評分細則.
二、對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.
三、解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù).
四、只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分50分.
1. A 2. C 3. C 4.C 5.D 6.D 7. B 8. D 9. B 10. C
二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分20分.
11. 12.38 12. 5 13. 3
14. 
15.
②③
三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16. 本小題主要考查正弦定理、三角函數(shù)的倍角公式、兩角和公式等基本知識，考
查學生的運算求解能力. 滿分13分.
解：（Ⅰ）由
，知
………………………（2分）
又
，得
，
，
………………………（5分）
故
………………………（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知
，
………………………………（9分）
，
當
，即
時，
取得最大值為
． ……………（13分）
17. 本題主要考查線線、線面、面面位置關(guān)系，線面角等基本知識，考查空間想像能力，運算求解能力和推理論證能力.
滿分13分.
解：（Ⅰ）證明：如圖，取
中點
，連結(jié)
，
；
∥
，
∥
，
又
，
，
，…………（3分）
四邊形
為平行四邊形，
∥，
又
平面
，
平面，
∥平面．
………………………（6分）
（Ⅱ）依題意知平面
平面
，
，
平面，得
又
，.
如圖，以
為原點，建立空間直角坐標系-xyz，
，可得
、
、
，
.
設(shè)平面的一個法向量為
，
由
得
解得
，
．
………………………（9分）
設(shè)線段
上存在一點
，其中
，則
，
，
依題意：
，即
，
可得
，解得
（舍去）．
所以上存在一點
． …………（13分）
18．本題主要考查函數(shù)與導數(shù)等基本知識，考查運用數(shù)學知識分析問題與解決問題的能力，
考查應用意識. 滿分13分.
解：（Ⅰ）依題意，
銷售價提高后為6000（1+
）元/臺，月銷售量為
臺……………（2分）
則
……………………（4分）
即
． ……………………（6分）
（Ⅱ）
令
，得
，
解得
舍去）．
……………………（9分）
當
當
當
時，
取得最大值．
此時銷售價為
元．
答：筆記本電腦的銷售價為9000元時，電腦企業(yè)的月利潤最大．…………………（13分）
19．本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識，考查運算求解能力和分析問題、解決問題的能力.
滿分13分
解：（Ⅰ）因為橢圓
的一個焦點是（1，0），所以半焦距
=1.
因為橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形.
所以
，解得
所以橢圓的標準方程為
. …（4分）
（Ⅱ）（i）設(shè)直線
：
與聯(lián)立并消去得：
.
記
，
，
，
. ……………（5分）
由A關(guān)于軸的對稱點為
，得
，
根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點為
（
，0），
得
，即
.
所以
即定點（1 ， 0）.
……………………………………（8分）
（ii）由（i）中判別式
，解得
.
可知直線
過定點 (1,0).
所以
……………（10分）
得
, 令
記
，得
，當
時，
.
在
上為增函數(shù).
所以
，
得
.
故△OA1B的面積取值范圍是
.
……………（13分）
20. 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、等差數(shù)列、不等式等基本知識，考查運用合理的推理證明解
決問題的方法，考查分類與整合及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想. 滿分14分.
解：（Ⅰ）因為
，
所以
.
………………（1分）
（i）當
時，
.
（ii）當
時，由
，得到
，知在
上.
（iii）當
時，由，得到，知在
上.
綜上，當
時，
遞增區(qū)間為；當時, 
遞增區(qū)間為
.
………………………………………（4分）
（Ⅱ）（i）因為
，
所以
，即
，
，即
. ……………………………………（6分）
因為
，
當
時，
，
當
時，
，
所以
.
…………………………（8分）
又因為
，
所以令
，則
得到
與
矛盾，所以
不在數(shù)列
中. ………（9分）
（ii）充分性：若存在整數(shù)
，使
.
設(shè)
為數(shù)列
中不同的兩項，則
.
又
且,所以
.
即
是數(shù)列的第
項. ……………………（10分）
必要性：若數(shù)列中任意不同兩項之和仍為數(shù)列中的項，
則
，
，（
，為互不相同的正整數(shù)）
則
，令
，
得到
，
所以
，令整數(shù)
，所以. ……（11 分）
下證整數(shù)
若設(shè)整數(shù)
則
.令
，
由題設(shè)取
使
即
，所以
即
與
相矛盾，所以.
綜上, 數(shù)列中任意不同兩項之和仍為數(shù)列中的項的充要條件是存在整數(shù)，使.
……………………（14分）
21. （1）本題主要考查矩陣乘法、逆矩陣與變換等基本知識，考查運算求解能力， 滿分7分.
解：
，即
，
所以
得
……………………（4分）
即M=
，由
得
.
或
=1
, 
. …………………（7分）
（2）本題主要考查圓極坐標方程和直線參數(shù)方程等基本知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.
解：曲線的極坐標方程
可化為
,
其直角坐標方程為
，即
. ……………（2分）
直線的方程為
.
所以，圓心到直線的距離
……………………（5分）
所以，
的最小值為
.
…………………………（７分）
（3）本題主要考查柯西不等式與不等式解法等基本知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.
解：由柯西不等式：
. …………（3分）
因為
所以
，即
.
因為
的最大值是7,所以
，得
，
當
時，取最大值，
所以.
………………………………………（7分）
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