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一塊邊長(zhǎng)為10的正方形紙片，按如圖所示將陰影部分裁下，然后將余下的四個(gè)全等的等腰三角形作為側(cè)面制作一個(gè)正四棱錐S-ABCD（底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的四棱錐）．
（1）過(guò)此棱錐的高以及一底邊中點(diǎn)F作棱錐的截面（如圖），設(shè)截面三角形面積為y，將y表為x的函數(shù)；
（2）求y的最大值及此時(shí)x的值；
（3）在第（2）問(wèn)的條件下，設(shè)F是CD的中點(diǎn)，問(wèn)是否存在這樣的動(dòng)點(diǎn)P，它在此棱錐的表面（包含底面ABCD）運(yùn)動(dòng)，且FP⊥AC．如果存在，在圖中畫(huà)出其軌跡并計(jì)算軌跡的長(zhǎng)度，如果不存在，說(shuō)明理由．

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第1卷

一、選擇題

1．D    2．B    3．B    4．C    5．A    6．C    7．B    8．A    9．D    10．C    11．A    12．A

第Ⅱ卷

二、填空題

13．

14．（理）（文）3x+3y－2=0

15．（－3，0）（3，+∞）

16．②④

三、解答題

17．（Ⅰ）這批食品不能出廠的概率是：

（Ⅱ）五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢，這批食品可以出廠的概率是：

五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢，這批食品不能出廠的概率是：

由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率加法公式可知，五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢，

才能確定這批食品出廠與否的概率是：

18．（Ⅰ）設(shè)f（x）＝ax+b（a≠0），則c的方程為：

      ①

由點(diǎn)（2，）在曲線c上，得1＝（2一b）．      ②

由①②解得a＝b＝1，∴曲線c的方程為y＝x－1．

（Ⅱ）由，點(diǎn)（n+1，）底曲線c上，有＝n

于是．?…?，

即

注意到a1＝1，所以a_n＝（n－1）!

（Ⅲ）

∴．

19．（甲）（Ⅰ）選取DA1、DC、DD1，分別為Ox、Oy、Oy軸建立空間直角坐標(biāo)，易知E（0，0，），F(xiàn)（，，0），B1（1，1，1），C（0，1，0），

，

＝0，

．

（Ⅱ）G（0，，－1），C_l（0，1，1），

．

（Ⅲ），

（乙）

（Ⅰ）用反證法易證B₁D₁與A₁D不垂直．

（Ⅱ）由余弦有cos∠AC₁D₁=

設(shè)AC₁=x，則

上

單調(diào)遞增．

（Ⅲ）∵A₁B₁∥C₁D₁，∴∠AC₁D₁為異面直線AC₁與A₁B₁所成角．

由余弦定理，有

設(shè)AC₁＝x，則

故AC₁與A₁B₁所成角的取值范圍是

20．（理）解：

（Ⅰ）∵f（x）與g（x）的圖像關(guān)于直線x－1＝0對(duì)稱，

∴f（x）＝g（2－x）．

，

f（x）＝g（2一x）＝－ax+2x³．

又f（x）是偶函數(shù)，∴

f（x）=f（－x）＝ax一2x³．

（Ⅱ）f（x）＝a－6x²，∵f（x）為[0，1]上的增函數(shù)．

∴f'（x）＝a－6x²≥0，

∴a≥6x²在上，恒成立．

∵x[0，1）時(shí)，6x²≤6，∴a≥6．

即a的取值范圍是[6，+∞）．

（Ⅲ）當(dāng)a在[0，1）上的情形．

由f'（x）=0，得得a=6．此時(shí)x＝1

∴當(dāng)a（－6，6）時(shí)，f（x）的最大值不可能是4．

（文）

（1）

（2）根據(jù)題意可得，

整理得（a^x－a）（a^x+a^－1）<0．

由于a>1，所以x<1．

即．

21．解：

（Ⅰ）∵|PF₁|一|PF₂|=2a，又|PF₁|＝3|PF₂|．

∴|PF₁|＝3a，|PF₂|＝a．

設(shè)F₁（－c，0），F(xiàn)₂（c，0），P（x₀，y₀），由得3a=ex₀+a，則x₀=．

∵P在雙曲線右支上，∴x₁≥a，即≥a，解得

1<e≤2．

∴e的最大值為2，此時(shí)

∴漸近線方程為，

（Ⅱ）．

又．

∴．

又．

．

∴b²=C²－a²＝6．

∴雙曲線方程為．

22．（理）解：

（1）可求得f（x）＝．

由f（x）<f（1）得．

整理得（a^x－a）（a^x+a^―1）<0．

由于a>l，所以x<1．

（Ⅱ）

＝,

由，

，

即f（2）>2f（1）．

即f（3）>3f（1）．

（Ⅲ）更一般地，有：f（n）>nf（1）  （n ^*，n≥2）．

用數(shù)學(xué)歸納法證明，

①由（Ⅱ）知n＝2，3時(shí)，不等式成立．

②假設(shè)n＝k時(shí)，不等式成立，即f（k）>kf（1）．

．

這說(shuō)明n＝k+1時(shí)，不等式也成立．

由①②可知，對(duì)于一切，均有f（x）>nf（1）．

（文）解：

（Ⅰ）∵f（x）與g（x）的圖像關(guān)于直線x－1＝0對(duì)稱．

∴f（x）＝g（2－x），當(dāng)x[－1，0]時(shí)，2一x[2，3]

f（x）＝g（2一x）＝一ax+2x³．

又∵f（x）是偶函數(shù)，∴x[0，1]時(shí)，一x[一1，0]

f（x）＝f（一x）＝ax一2x³．

（Ⅱ）上的增函數(shù)．

上恒成立

．

即a的取值范圍是[6，+∞]．

（Ⅲ）只考慮在[0，1）上的情形．

由．

∴當(dāng)的最大值不可能是4．