已知向量
a
=（1，2），
b
=（cosα，sinα），設(shè)
m
=
a
+t
b
（t為實數(shù)）．
（1）若α=
π
4
，求當|
m
|取最小值時實數(shù)t的值；
（2）若
a
⊥
b
，問：是否存在實數(shù)t，使得向量
a
-
b
和向量
m
的夾角為
π
4
，若存在，請求出t；若不存在，請說明理由．
分析：（1）先把a=
π
4
代入求出向量
b
的坐標，再把|
m|
轉(zhuǎn)化為
(
a
+t
b
)2
=
5+t2+2t
a
•
b
，把所求結(jié)論以及已知條件代入得到關(guān)于實數(shù)t的二次函數(shù)，利用配方法求出|
m|
的最小值以及實數(shù)t的值；
（2）先利用向量垂直求出|
a
-
b
|以及|
a
+t
b
|和（
a
-
b
）（
a
+t
b
），代入cos45°=
(
a
-
b
)(
a
+t
b
)
|
a
-
b
||
a
+t
b
|
，可得關(guān)于實數(shù)t的方程，解方程即可求出實數(shù)t．
解答：解：（1）因為a=
π
4
，所以
b
=（
2
2
，
2
2
），
a
•
b
=
2
3
3
，
則|
m|
=
(
a
+t
b
)2
=
5+t2+2t
a
•
b
=
t2+3
2
t+5
=
(t+
3
2
2
)2+
1
2

所以當t=-
3
2
2
時，|
m|
取到最小值，最小值為
2
2
．（7分）
（2）由條件得cos45°=
(
a
-
b
)(
a
+t
b
)
|
a
-
b
||
a
+t
b
|
，
又因為|
a
-
b
|=
(
a
-
b
)2
=
6
，|
a
+t
b
|=
(
a
+t
b
)2
=
5+t2
，
（
a
-
b
）（
a
+t
b
）=5-t，則有
5-t
6
5+t2
=
2
2
，且t＜5，
整理得t2+5t-5=0，所以存在t=
-5±3
5
2
滿足條件．（14分）
點評：本題主要考查數(shù)量積表示兩個向量的夾角以及向量的模．本題的易錯點在于（
a
-
b
）（
a
+t
b
）=5-t中的t＜5，因為兩個向量的夾角為銳角，所以向量的數(shù)量積為正得t＜5．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，已知向量
a
=（-1，2），又點A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）(0≤θ≤
π
2
)．
（1）若
AB
⊥
a
，且|
AB
|=
5
|
OA
|(O為坐標原點），求向量
OB
；
（2）若向量
AC
與向量
a
共線，當k＞4，且tsinθ取最大值4時，求
OA
•
OC
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（1，2），
b
=（2，x）如果
a
與
b
所成的角為銳角，則x的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（1，2），
b
=（x，-2）且
a
⊥
b
，則實數(shù)x等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列命題：
①函數(shù)y=tan(3x-
π
2
)的最小正周期是
π
3

②角α終邊上一點P（-3a，4a），且a≠0，那么cosα=-
3
5

③函數(shù)y=cos(2x-
π
3
)的圖象的一個對稱中心是(-
π
12
，0)
④已知向量
a
=（1，2），
b
=（1，0），
c
=（3，4）．若λ為實數(shù)，且（
a
+λ
b
）∥
c
，則λ=2
⑤設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≤0時，f（x）=2x2-x，則f（1）=-3
其中正確的個數(shù)有（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（1，2），
b
=（x，4），若|
b
|=2|
a
|，則x的值為
±2
±2
．

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