一個空間幾何體G-ABCD的三視圖如圖所示，其中A_i，B_i，C_i，D_i，G_i（i=1，2，3）分別是A，B，C，D，G在直立、側(cè)立、水平三個投影面內(nèi)的投影．在視圖中，四邊形A₁B₂C₃D₄為正方形，且A₁B₂=2a；在側(cè)視圖中，A₂D₂⊥A₂G₂；在俯視圖中，G₃D₃=G₃C₃=2

2a

.
（Ⅰ）根據(jù)三視圖畫出幾何體的直觀圖，并標(biāo)明A，B，C，D，G五點(diǎn)的位置；
（Ⅱ）證明：平面AGD⊥平面BGC；
（Ⅲ）求三棱錐D-ACG的體積．

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一個空間幾何體G-ABCD的三視圖如圖所示，其中A_i，B_i，C_i，D_i，G_i（i=1，2，3）分別是A，B，C，D，G在直立、側(cè)立、水平三個投影面內(nèi)的投影．在視圖中，四邊形A₁B₂C₃D₄為正方形，且A₁B₂=2a；在側(cè)視圖中，A₂D₂⊥A₂G₂；在俯視圖中，G₃D₃=G₃C₃=
（Ⅰ）根據(jù)三視圖畫出幾何體的直觀圖，并標(biāo)明A，B，C，D，G五點(diǎn)的位置；
（Ⅱ）證明：平面AGD⊥平面BGC；
（Ⅲ）求三棱錐D-ACG的體積．

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一個四棱錐的三視圖如圖所示，E為側(cè)棱PC上一動點(diǎn)．
（I）畫出該四棱錐的直觀圖，并求它的側(cè)面積
（II）取PC中點(diǎn)E，求證：PA∥面EBD．

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一、選擇題：（每小題5分，共50分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

B

A

C

C

C

A

A

B

二、填空題：（每小題4分，共24分）

11．     12．4       13．      14．     15．4   16．

三、解答題：（共76分，以下各題為累計得分，其他解答請相應(yīng)給分）

17．解：（I）

        由，得。

        又當(dāng)時，得

       （Ⅱ）當(dāng)

        即時函數(shù)遞增。

        故的單調(diào)增區(qū)間為，

18．解：（I）各取1個球的結(jié)果有（紅，紅₁）（紅，紅₂）（紅，白₁）（紅，白₂）（紅，黑）

（白，紅₂）（白，紅₂）（白，白₁）（白，白₂）（白，黑）（白，紅₁）（白，紅₂）

（白，白₁）（白，白₂）（白，黑）（黑₁，紅₁）（黑₁，紅₂）（黑₁，白₁）（黑₁，白₂）（黑₁，黑）（黑₂，紅₁）（黑₂，紅₂）（黑₂，白₁）（黑₂，白₂）（黑₂，黑）（黑₃，紅₁）

（黑₃，紅₂）（黑₃，白₁）（黑₃，白₂）（黑₃，黑）

等30種情況

其中恰有1白1黑有（白，黑）…（黑₃，白₂）8種情況，

故1白1黑的概率為

   （Ⅱ）2紅有2種，2白有4種，2黑有3種，

故兩球顏色相同的概率為

   （Ⅲ）1紅有1×3+2×5=13（種），2紅有2種，

故至少有1個紅球的概率為

19．解：（I）側(cè)視圖   （高4，底2）

   （Ⅱ）證明，由面ABC得AC，又由俯視圖知ABAC，，

面PAB

又AC面PAC，面PAC面PAB

   （Ⅲ）面ABC，為直線PC與底面ABC所成的角

在中，PA=4，AC=，，

20．解：（I）由題意設(shè)C的方程為由，得。

    設(shè)直線的方程為，由

    ②代入①化簡整理得  

    因直線與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)，

    故

    即，解得又時僅交一點(diǎn)，

   （Ⅱ）設(shè)，由由（I）知

21．解：（I）   由得

于是故

切線方程為，即

   （Ⅱ）令，解得

    ①當(dāng)時，即時，在內(nèi)，，于是在[1，4]內(nèi)為增函數(shù)。從而

    ②當(dāng)，即，在內(nèi)，，于是在[1，4]內(nèi)為減函數(shù)，從而

    ③當(dāng)時，在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，故在[1，4]上的最大值為與的較大者。

    由，得，故當(dāng)時，

    當(dāng)時，

22．解：（I）設(shè)的首項(xiàng)為，公差為d，于是由

        解得       

       （Ⅱ）

        由  ①

        得     ②

        ①―②得   即

        當(dāng)時，，當(dāng)時，

        于是

        設(shè)存在正整數(shù)，使對恒成立

        當(dāng)時，，即

        當(dāng)時，

        當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，

        存在正整數(shù)或8，對于任意正整數(shù)都有成立。

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