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題目列表(包括答案和解析)

（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。

     已知函數的反函數。定義：若對給定的實數，函數與互為反函數，則稱滿足“和性質”；若函數與互為反函數，則稱滿足“積性質”。

（1）       判斷函數是否滿足“1和性質”，并說明理由；    

（2）       求所有滿足“2和性質”的一次函數；

（3）       設函數對任何，滿足“積性質”。求的表達式。

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（本題滿分16分）

   （文科學生做）已知命題p：函數在R上存在極值；

命題q：設A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若對，都有；

若為真，為假，試求實數a的取值范圍。

 

（理科學生做）已知命題p：對，函數有意義；

命題q：設A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若對，都有；

若為真，為假，試求實數a的取值范圍。

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（本題滿分16分）

   在平面直角坐標系中，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標原點．橢圓與圓的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為．

   （1）求圓的方程；

   （2）試探究圓上是否存在異于原點的點，使到橢圓右焦點的距離等于線段的長．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

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（本題滿分16分）

   （文科學生做）已知命題p：函數在R上存在極值；

命題q：設A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若對，都有；

若為真，為假，試求實數a的取值范圍。

 

（理科學生做）已知命題p：對，函數有意義；

命題q：設A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若對，都有；

若為真，為假，試求實數a的取值范圍。

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（本題滿分16分）在平面直角坐標系中，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標原點．橢圓與圓的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為．

   （1）求圓的方程；

   （2）試探究圓上是否存在異于原點的點，使到橢圓右焦點的距離等于線段的長．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由

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一、選擇題：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

二、填空題：

11. ；      12. ；          13. ；

14. ；            15. ；        16. ③ ④ .

三、解答題：

17.解：（1）在中，由，得，  又由正弦定理： 得：.                                     ……………………4分

（2）由余弦定理：得：，

即，解得或（舍去），所以.       ……8分

 

所以，

即.                                      …………………12分

18.解：（1）依題意，雙曲線的方程可設為：、，

則                解之得：，

所以雙曲線的方程為：.                  ……………………6分

（2）設、，直線與軸交于點，此點即為雙曲線的右焦點，由   消去，得，

此方程的且，，

所以、兩點分別在左、右支上，不妨設在左支、在右支上   ………9分

則由第二定義知：，，     …………11分

所以

，即. ………14分

（亦可求出、的坐標，用兩點間距離公式求.）

 

19.（1）當點為的中點時，與平面平行.

∵在中，、分別為、的中點

∴∥   又平面，而平面 

    ∴∥平面.                              ……………………4分

 

（2）證明（略證）：易證平面，又是在平面內的射影，，∴.                         ……………………8分

 (3)∵與平面所成的角是，∴，，.

過作于，連，則.     …………………10分

易知：，，設，則，，

在中，，

得.                 ………14分

 

 

 

解法二:（向量法）（1）同解法一

（2）建立圖示空間直角坐標系，則，                          ，，.

設，則

      ∴   （本小題4分）

（3）設平面的法向量為，由，

得：，

依題意，∴，

得.                             （本小題6分）

 

20.解：（1），

∴可設，

因而   ①

由  得          ②

∵方程②有兩個相等的根，

∴，即  解得  或

由于，（舍去），將 代入 ①  得 的解析式.                                …………………6分

（2）=，

∵在區(qū)間內單調遞減，

∴在上的函數值非正，

由于，對稱軸，故只需，注意到，∴，得或（舍去）

故所求a的取值范圍是.                     …………………11分

 （3）時，方程僅有一個實數根，即證方程 僅有一個實數根.令，由，得，，易知在，上遞增，在上遞減，的極大值，的極小值，故函數的圖像與軸僅有一個交點，∴時，方程僅有一個實數根，得證.                                    ……………………16分

 

21.解：（1），                        ……………………1分

=.                      ……………………4分

（2），           ……………………5分

，………7分

∴數列是為首項，為公比的等比數列.       ……………………8分

（3）由（2）知， Sn =， ……………9分

=∵0<<1，∴>0，，0<<1，，

∴，                                     ……………………11分

又當時，，∴， ……………………13分

∴<.……14分

 


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