題目列表(包括答案和解析)
C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系下,已知圓O:和直線,
(1)求圓O和直線的直角坐標(biāo)方程;(2)當(dāng)時(shí),求直線與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo).
D.選修4-5:不等式證明選講
對于任意實(shí)數(shù)和,不等式恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
C
[解析] 由基本不等式,得ab≤==-ab,所以ab≤,故B錯(cuò);+==≥4,故A錯(cuò);由基本不等式得≤=,即+≤,故C正確;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×=,故D錯(cuò).故選C.
.定義域?yàn)?/span>R的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),的最小值為( )
(A) (B) (C) (D)
.過點(diǎn)作圓的弦,其中弦長為整數(shù)的共有 ( 。
A.16條 B. 17條 C. 32條 D. 34條
一、選擇題:
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空題:
11. ; 12. ; 13. ;
14. ; 15. ; 16. ③ ④ .
三、解答題:
17.解:(1)在中,由,得, 又由正弦定理: 得:. ……………………4分
(2)由余弦定理:得:,
即,解得或(舍去),所以. ……8分
所以,
即. …………………12分
18.解:(1)依題意,雙曲線的方程可設(shè)為:、,
則 解之得:,
所以雙曲線的方程為:. ……………………6分
(2)設(shè)、,直線與軸交于點(diǎn),此點(diǎn)即為雙曲線的右焦點(diǎn),由 消去,得,
此方程的且,,
所以、兩點(diǎn)分別在左、右支上,不妨設(shè)在左支、在右支上 ………9分
則由第二定義知:,, …………11分
所以
,即. ………14分
(亦可求出、的坐標(biāo),用兩點(diǎn)間距離公式求.)
19.(1)當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí),與平面平行.
∵在中,、分別為、的中點(diǎn)
∴∥ 又平面,而平面
∴∥平面. ……………………4分
(2)證明(略證):易證平面,又是在平面內(nèi)的射影,,∴. ……………………8分
(3)∵與平面所成的角是,∴,,.
過作于,連,則. …………………10分
易知:,,設(shè),則,,
在中,,
得. ………14分
解法二:(向量法)(1)同解法一
(2)建立圖示空間直角坐標(biāo)系,則, ,,.
設(shè),則
∴ (本小題4分)
(3)設(shè)平面的法向量為,由,
得:,
依題意,∴,
得. (本小題6分)
20.解:(1),
∴可設(shè),
因而 ①
由 得 ②
∵方程②有兩個(gè)相等的根,
∴,即 解得 或
由于,(舍去),將 代入 ① 得 的解析式. …………………6分
(2)=,
∵在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,
∴在上的函數(shù)值非正,
由于,對稱軸,故只需,注意到,∴,得或(舍去)
故所求a的取值范圍是. …………………11分
(3)時(shí),方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,即證方程 僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根.令,由,得,,易知在,上遞增,在上遞減,的極大值,的極小值,故函數(shù)的圖像與軸僅有一個(gè)交點(diǎn),∴時(shí),方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,得證. ……………………16分
21.解:(1), ……………………1分
=. ……………………4分
(2), ……………………5分
,………7分
∴數(shù)列是為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列. ……………………8分
(3)由(2)知, Sn =, ……………9分
=∵0<<1,∴>0,,0<<1,,
∴, ……………………11分
又當(dāng)時(shí),,∴, ……………………13分
∴<.……14分
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