題目列表(包括答案和解析)
b2+c2-a2 |
2bc |
a2+c2-b2 |
2ac |
給出問題:已知滿足,試判定的形狀.某學生的解答如下:
解:(i)由余弦定理可得,
,
,
,
故是直角三角形.
(ii)設外接圓半徑為.由正弦定理可得,原式等價于
,
故是等腰三角形.
綜上可知,是等腰直角三角形.
請問:該學生的解答是否正確?若正確,請在下面橫線中寫出解題過程中主要用到的思想方法;若不正確,請在下面橫線中寫出你認為本題正確的結果. .
已知,(其中)
⑴求及;
⑵試比較與的大小,并說明理由.
【解析】第一問中取,則; …………1分
對等式兩邊求導,得
取,則得到結論
第二問中,要比較與的大小,即比較:與的大小,歸納猜想可得結論當時,;
當時,;
當時,;
猜想:當時,運用數學歸納法證明即可。
解:⑴取,則; …………1分
對等式兩邊求導,得,
取,則。 …………4分
⑵要比較與的大小,即比較:與的大小,
當時,;
當時,;
當時,; …………6分
猜想:當時,,下面用數學歸納法證明:
由上述過程可知,時結論成立,
假設當時結論成立,即,
當時,
而
∴
即時結論也成立,
∴當時,成立。 …………11分
綜上得,當時,;
當時,;
當時,
((本小題共13分)
若數列滿足,數列為數列,記=.
(Ⅰ)寫出一個滿足,且〉0的數列;
(Ⅱ)若,n=2000,證明:E數列是遞增數列的充要條件是=2011;
(Ⅲ)對任意給定的整數n(n≥2),是否存在首項為0的E數列,使得=0?如果存在,寫出一個滿足條件的E數列;如果不存在,說明理由。
【解析】:(Ⅰ)0,1,2,1,0是一具滿足條件的E數列A5。
(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一個滿足條件的E的數列A5)
(Ⅱ)必要性:因為E數列A5是遞增數列,所以.所以A5是首項為12,公差為1的等差數列.所以a2000=12+(2000—1)×1=2011.充分性,由于a2000—a10001,a2000—a10001……a2—a11所以a2000—a19999,即a2000a1+1999.又因為a1=12,a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是遞增數列.綜上,結論得證。
已知.
(1)求的單調區(qū)間;
(2)證明:當時,恒成立;
(3)任取兩個不相等的正數,且,若存在使成立,證明:.
【解析】(1)g(x)=lnx+,= (1’)
當k0時,>0,所以函數g(x)的增區(qū)間為(0,+),無減區(qū)間;
當k>0時,>0,得x>k;<0,得0<x<k∴增區(qū)間(k,+)減區(qū)間為(0,k)(3’)
(2)設h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 當x變化時,h(x),的變化情況如表
x |
1 |
(1,e) |
e |
(e,+) |
|
- |
0 |
+ |
|
h(x) |
e-2 |
↘ |
0 |
↗ |
所以h(x)0, ∴f(x)2x-e (5’)
設G(x)=lnx-(x1) ==0,當且僅當x=1時,=0所以G(x) 為減函數, 所以G(x) G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,綜上,當x1時, 2x-ef(x)恒成立.
(3) ∵=lnx+1∴l(xiāng)nx0+1==∴l(xiāng)nx0=-1 ∴l(xiāng)nx0 –lnx=-1–lnx===(10’) 設H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函數,并且H(t)在t=1處有意義, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=
∴l(xiāng)nx0 –lnx>0, ∴x0 >x
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