題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù), 其中.
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),求曲線的單調(diào)區(qū)間與極值.
【解析】第一問中利用當(dāng)時(shí),,
,得到切線方程
第二問中,
對a分情況討論,確定單調(diào)性和極值問題。
解: (1) 當(dāng)時(shí),,
………………………….2分
切線方程為: …………………………..5分
(2)
…….7分
分類: 當(dāng)時(shí), 很顯然
的單調(diào)增區(qū)間為: 單調(diào)減區(qū)間: ,
, ………… 11分
當(dāng)時(shí)的單調(diào)減區(qū)間: 單調(diào)增區(qū)間: ,
,
【解析】D.當(dāng)時(shí),顯然;當(dāng)時(shí), ,所以選D.
當(dāng)0<x≤時(shí),4x<logax,則a的取值范圍是
(A)(0,) (B)(,1) (C)(1,) (D)(,2)
【解析】當(dāng)時(shí),顯然不成立.若時(shí)
當(dāng)時(shí),,此時(shí)對數(shù),解得,根據(jù)對數(shù)的圖象和性質(zhì)可知,要使在時(shí)恒成立,則有,如圖選B.
已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;
(Ⅲ)對任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上?說明理由.
【解析】第一問當(dāng)時(shí),,則。
依題意得:,即 解得
第二問當(dāng)時(shí),,令得,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,則。
依題意得:,即 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①當(dāng)時(shí),,令得
當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:
0 |
|||||
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
單調(diào)遞減 |
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
單調(diào)遞減 |
又,,!在上的最大值為2.
②當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), ,最大值為0;
當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增!在最大值為。
綜上,當(dāng)時(shí),即時(shí),在區(qū)間上的最大值為2;
當(dāng)時(shí),即時(shí),在區(qū)間上的最大值為。
(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
若,則代入(*)式得:
即,而此方程無解,因此。此時(shí),
代入(*)式得: 即 (**)
令 ,則
∴在上單調(diào)遞增, ∵ ∴,∴的取值范圍是。
∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。
因此,對任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上
已知是公差為d的等差數(shù)列,是公比為q的等比數(shù)列
(Ⅰ)若 ,是否存在,有?請說明理由;
(Ⅱ)若(a、q為常數(shù),且aq0)對任意m存在k,有,試求a、q滿足的充要條件;
(Ⅲ)若試確定所有的p,使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)p項(xiàng)的和式數(shù)列中的一項(xiàng),請證明.
【解析】第一問中,由得,整理后,可得、,為整數(shù)不存在、,使等式成立。
(2)中當(dāng)時(shí),則
即,其中是大于等于的整數(shù)
反之當(dāng)時(shí),其中是大于等于的整數(shù),則,
顯然,其中
、滿足的充要條件是,其中是大于等于的整數(shù)
(3)中設(shè)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),式不成立。由式得,整理
當(dāng)時(shí),符合題意。當(dāng),為奇數(shù)時(shí),
結(jié)合二項(xiàng)式定理得到結(jié)論。
解(1)由得,整理后,可得、,為整數(shù)不存在、,使等式成立。
(2)當(dāng)時(shí),則即,其中是大于等于的整數(shù)反之當(dāng)時(shí),其中是大于等于的整數(shù),則,
顯然,其中
、滿足的充要條件是,其中是大于等于的整數(shù)
(3)設(shè)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),式不成立。由式得,整理
當(dāng)時(shí),符合題意。當(dāng),為奇數(shù)時(shí),
由,得
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),此時(shí),一定有和使上式一定成立。當(dāng)為奇數(shù)時(shí),命題都成立
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