題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)的最小值為0,其中
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若對任意的有≤成立,求實數(shù)的最小值;
(Ⅲ)證明().
【解析】(1)解: 的定義域為
由,得
當x變化時,,的變化情況如下表:
x |
|||
- |
0 |
+ |
|
極小值 |
因此,在處取得最小值,故由題意,所以
(2)解:當時,取,有,故時不合題意.當時,令,即
令,得
①當時,,在上恒成立。因此在上單調遞減.從而對于任意的,總有,即在上恒成立,故符合題意.
②當時,,對于,,故在上單調遞增.因此當取時,,即不成立.
故不合題意.
綜上,k的最小值為.
(3)證明:當n=1時,不等式左邊==右邊,所以不等式成立.
當時,
在(2)中取,得 ,
從而
所以有
綜上,,
在中,滿足,是邊上的一點.
(Ⅰ)若,求向量與向量夾角的正弦值;
(Ⅱ)若,=m (m為正常數(shù)) 且是邊上的三等分點.,求值;
(Ⅲ)若且求的最小值。
【解析】第一問中,利用向量的數(shù)量積設向量與向量的夾角為,則
令=,得,又,則為所求
第二問因為,=m所以,
(1)當時,則=
(2)當時,則=
第三問中,解:設,因為,;
所以即于是得
從而
運用三角函數(shù)求解。
(Ⅰ)解:設向量與向量的夾角為,則
令=,得,又,則為所求……………2分
(Ⅱ)解:因為,=m所以,
(1)當時,則=;-2分
(2)當時,則=;--2分
(Ⅲ)解:設,因為,;
所以即于是得
從而---2分
==
=…………………………………2分
令,則,則函數(shù),在遞減,在上遞增,所以從而當時,
計算,可以采用以下方法:
構造恒等式,兩邊對x求導,
得,在上式中令,得
.類比上述計算方法,
計算 .
設函數(shù).
(I)求的單調區(qū)間;
(II)當0<a<2時,求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
【解析】第一問定義域為真數(shù)大于零,得到..
令,則,所以或,得到結論。
第二問中, ().
.
因為0<a<2,所以,.令 可得.
對參數(shù)討論的得到最值。
所以函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).
(I)定義域為. ………………………1分
.
令,則,所以或. ……………………3分
因為定義域為,所以.
令,則,所以.
因為定義域為,所以. ………………………5分
所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為,
單調遞減區(qū)間為. ………………………7分
(II) ().
.
因為0<a<2,所以,.令 可得.…………9分
所以函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).
①當,即時,
在區(qū)間上,在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).
所以. ………………………10分
②當,即時,在區(qū)間上為減函數(shù).
所以.
綜上所述,當時,;
當時,
已知函數(shù).()
(1)若在區(qū)間上單調遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在曲線下方,求的取值范圍.
【解析】第一問中,首先利用在區(qū)間上單調遞增,則在區(qū)間上恒成立,然后分離參數(shù)法得到,進而得到范圍;第二問中,在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立.然后求解得到。
解:(1)在區(qū)間上單調遞增,
則在區(qū)間上恒成立. …………3分
即,而當時,,故. …………5分
所以. …………6分
(2)令,定義域為.
在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立.
∵ …………9分
① 若,令,得極值點,,
當,即時,在(,+∞)上有,此時在區(qū)間上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有,不合題意;
當,即時,同理可知,在區(qū)間上遞增,
有,也不合題意; …………11分
② 若,則有,此時在區(qū)間上恒有,從而在區(qū)間上是減函數(shù);
要使在此區(qū)間上恒成立,只須滿足,
由此求得的范圍是. …………13分
綜合①②可知,當時,函數(shù)的圖象恒在直線下方.
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