中的函數(shù).若對(duì)于任意實(shí)數(shù)α和β恒有不等式 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

若定義在上的函數(shù)滿足條件：存在實(shí)數(shù)且，使得：

⑴ 任取，有（是常數(shù)）；

⑵ 對(duì)于內(nèi)任意，當(dāng)，總有。

我們將滿足上述兩條件的函數(shù)稱為“平頂型”函數(shù)，稱為“平頂高度”，稱為“平頂寬度”。根據(jù)上述定義，解決下列問題：

（1）函數(shù)是否為“平頂型”函數(shù)？若是，求出“平頂高度”和“平頂寬度”；若不是，簡要說明理由。

（2） 已知是“平頂型”函數(shù)，求出 的值。

（3）對(duì)于（2）中的函數(shù)，若在上有兩個(gè)不相等的根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

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已知函數(shù)m(x)=log4(4x+1)，n(x)=kx（k∈R）．
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=m（x），且F（x）為R上的奇函數(shù)．求x＜0時(shí)，F(xiàn)（x）的表達(dá)式；
（2）若f（x）=m（x）+n（x）為偶函數(shù)，求k的值；
（3）對(duì)（2）中的函數(shù)f（x），設(shè)g(x)=log4(2x-1-
43
a)，若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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已知函數(shù)m（x）=log2（4x+1），n（x）=kx（k∈R）．
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=m（x）．若F（x）為R上的奇函數(shù)，求x＜0時(shí)F（x）的表達(dá)式；
（2）若f（x）=m（x）+n（x）是偶函數(shù)，求k的值；
（3）對(duì)（2）中的函數(shù)f（x），設(shè)函數(shù)g（x）=log2（a?2x-
43
a），其中a＞0．若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍．

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設(shè)f（x）是定義在集合D上的函數(shù)，若對(duì)集合D中的任意兩數(shù)x1，x2恒有f(
1
4
x1+
3
4
x2)＜
1
4
f(x1)+
3
4
f(x2)成立，則f（x）是定義在D上的β函數(shù)．
（1）試判斷f（x）=x2是否是其定義域上的β函數(shù)？
（2）設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，求證：f（x）不是定義在R上的β函數(shù)．
（3）設(shè)f（x）是定義在集合D上的函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)α∈[0，1]以及集合D中的任意兩數(shù)x1，x2恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），則稱f（x）是定義在D上的α-β函數(shù)．已知f（x）是定義在R上的α-β函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設(shè)an=f（n），n=1，2，3…m且a0=0，am=2m，記∫=a1+a2+a3+…+am，對(duì)任意滿足條件的函數(shù)f（x），求∫的最大值．

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已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對(duì)稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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一、

C A CBC     A D AB D     B A

二、

13．5;   14．;     15． 36;      16．20

三、

17．解：（1）依題意得：

所以：，……4分

    • 20090508

    （2）設(shè)，則，

    由正弦定理：,

    所以兩個(gè)正三角形的面積和，…………8分

    ……………10分

    ，，

    所以：………………………………………………………………12分

    18．解：（1）；……………………6分

    （2）消費(fèi)總額為1500元的概率是：……………………7分

    消費(fèi)總額為1400元的概率是：………8分

    消費(fèi)總額為1300元的概率是：

    ＝，…11分

    所以消費(fèi)總額大于或等于1300元的概率是；……………………12分

    19．（1）證明：因?yàn)?sub>，所以平面，

    又因?yàn)?sub>，

    平面，

    平面平面；…………………4分

    （2）因?yàn)?sub>，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)E到平面的距離，

    過點(diǎn)E作EF垂直CD且交于點(diǎn)F，因?yàn)槠矫?sub>平面，所以平面，

    所以的長為所求，………………………………………………………………………6分

    因?yàn)?sub>，所以為二面角的平面角，，

    ＝1，

    點(diǎn)到平面的距離等于1；…………………………………………………………8分

    （3）連接，由平面，，得到，

    所以是二面角的平面角，

    ，…………………………………………………………………11分

    二面角大小是�！�12分

    20．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意得：

    ，

    解得，所以，…………………3分

    所以，

    ，

    所以；…………………………………………………………………6分

    （2），因?yàn)?sub>，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，…8分

    當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，

    則：，

    所以，即的取值范圍是�！�12分

    21．解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

    因?yàn)?sub>，所以，得到：，注意到不共線，所以軌跡方程為；…………………………………5分

    （2）設(shè)點(diǎn)是軌跡C上的任意一點(diǎn)，則以為直徑的圓的圓心為，

    假設(shè)滿足條件的直線存在，設(shè)其方程為，直線被圓截得的弦為，

    則

     

    …………………………………………7分

    弦長為定值，則，即，

    此時(shí)，……………………………………………………9分

    所以當(dāng)時(shí)，存在直線，截得的弦長為，

        當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的直線�！�12分

    22．解：（1），

    ，……2分

    ，

    由或

    因?yàn)楫?dāng)時(shí)取得極大值，所以，

    所以的取值范圍是：；………………………………………………………4分

    （2）由下表：

    ＋

    0

    －

    0

    －

    遞增

    極大值

    遞減

    極小值

    遞增

    ………………………7分

    畫出的簡圖：

    依題意得：，

    解得：，

    所以函數(shù)的解析式是：

    ；……9分

    （3）對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有

    ，

    依題意有：函數(shù)在區(qū)間

    上的最大值與最小值的差不大于，

    ………10分

    在區(qū)間上有：

    ,

    的最大值是，

    的最小值是，……13分

    所以

    即的最小值是�！�14分

     

     


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