（09年湖北補(bǔ)習(xí)學(xué)校聯(lián)考理）（14分）在周長(zhǎng)為定值的△ABC中，已知|AB|=6，且當(dāng)頂點(diǎn)C位于定點(diǎn)P時(shí)，cosC有最小值為.

（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)C的軌跡方程.

 （Ⅱ）過點(diǎn)A作直線與(Ⅰ)中的曲線交于M、N兩點(diǎn)，求的最小值的集合.

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設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A（-1，0）和B（1，0）的距離分別為d₁和d₂，∠APB=2θ，且存在常數(shù)λ（0＜λ＜1），使得d₁d₂sin²θ=λ．
（1）證明：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；
（2）過點(diǎn)B作直線雙曲線C的右支于M，N兩點(diǎn)，試確定λ的范圍，使

OM

•

ON

=0，其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

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設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A（-1，0）和B（1，0）的距離分別為d₁和d₂，∠APB=2θ，且存在常數(shù)λ（0＜λ＜1），使得d₁d₂sin²θ=λ．
（1）證明：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；
（2）過點(diǎn)B作直線雙曲線C的右支于M，N兩點(diǎn)，試確定λ的范圍，使，其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

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一、選擇題

   D  A  A  C  D    C  D  C  B  B

二、填空題:

11.     12．     13．81     14．   15.②③

三、解答題: 

16.解：把函數(shù)按向量平移后得..............2分

（Ⅰ）=..................3分

............5分

則函數(shù)的值域?yàn)?sub>；.....................7分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，

  .............................................9分

 恒有解，，..................................11分

即....................................................12分

17.解：（Ⅰ）設(shè)三角形三內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的三邊分別為a, b, c，

∵，∴，由正弦定理有,

又由余弦定理有，∴，即，

所以為Rt，且 .................................. 3分

又

（1）÷（2），得...................................... 4分

令a=4k, b=3k (k>0)

則∴三邊長(zhǎng)分別為3，4，5.....................6分

（Ⅱ）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則A、B坐標(biāo)為（3，0），（0，4），直線AB方程為

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x, y），則由P到三邊AB、BC、AB的距離為d₁, d₂和d₃可知

，..................................8分

且故.......................10分

令，由線性規(guī)劃知識(shí)可知0≤m≤8，故d₁+d₂+d₃的取值范圍是......12分

18.解：（Ⅰ）當(dāng)

                    ………………2分

，..............................................5分

故        ................6分

定義域?yàn)?sub>     .................................7分

   （Ⅱ）對(duì)于，            

顯然當(dāng)（元），    ..................................9分

∴當(dāng)每輛自行車的日租金定在11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多。..........12分

19.解： (Ⅰ) ∵(1)＝0

∴(a_n＋2－a_n＋1)－(3a _n＋1－4a_n)＝0

即a_n＋2－2a_n＋1＝2(a_n＋1－2a_n)    又a₂－2a₁＝4

∴數(shù)列｛a_n＋1－2a_n｝是以2為公比，以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列。...............2分

∴a_n＋1－2a_n＝4×2^n－1＝2 ^n＋1

∴    且

∴數(shù)列｛｝是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，....................4分

∴＝＋(n－1)×1＝n

∴.....................................................6分

    （Ⅱ）由，

        令S_n＝|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＝＋2()²＋3()³＋…＋n()ⁿ

 　　　　　S_n＝()²＋2()³＋…＋(n－1)()ⁿ＋n()^n＋1.......................8分

得S_n＝＋()²＋()³＋…＋()ⁿ－n()ⁿ⁺¹

＝－n()ⁿ⁺¹＝2[1－()ⁿ]－n()ⁿ⁺¹

∴ S_n＝6[1－()ⁿ]－3n()ⁿ⁺¹＜.....................10分

要使得|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＜m對(duì)于n∈N^＊恒成立,只須

   所以實(shí)數(shù)的取值范圍是。.......................................12分

20．解：（Ⅰ）因?yàn)?sub>

又是函數(shù)的極值點(diǎn)，，即..............2分

，則............4分

.........................................................6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

故.................................8分

令，當(dāng)時(shí)，得，

則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，..................10分

故時(shí)，，又，..................................12分

即對(duì)任意，恒有。..................................13分

21.解：（Ⅰ） 以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，

設(shè) |CA|+|CB|=2a(a>3)為定值，所以C點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，

所以焦距 2c=|AB|=6. ...................................................2分

 因?yàn)?

又 ，所以 ，

由題意得 ...........................................4分

此時(shí)，|PA|=|PB|，P點(diǎn)坐標(biāo)為 P(0，±4).

所以C點(diǎn)的軌跡方程為   .............................6分

（Ⅱ）不妨設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為A(-3，0)，M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)

(1)當(dāng)直線MN的傾斜角不為90⁰時(shí)，設(shè)其方程為 y=k(x+3) 代入橢圓方程化簡(jiǎn)，得 .......................................7分

顯然有 △≥0， 所以

而由橢圓第二定義可得

                                            ......................... 10分

只要考慮 的最小值，即考慮取最小值，顯然.

當(dāng)k=0時(shí)，取最小值16. .................................12分

(2)當(dāng)直線MN的傾斜角為90⁰時(shí)，x₁=x₂=-3,得 .....12分

但 ，故，這樣的M、N不存在，即的最小值的集合為空集............................................................14分