已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c關(guān)于點(diǎn)(1,1)成中心對稱.且f '(1)=0． 的表達(dá)式, (Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}滿足條件:a1∈(1,2).an+1=f (an). 求證:(a1- a2)?(a3-1)+(a2- a3)?(a4-1)+-+(an- an+1)?(an+2-1)＜1 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c圖像上一點(diǎn)M(1,m)處的切線方程為y-2=0，其中a、b、c為常數(shù).

（1）函數(shù)f(x)是否存在單調(diào)遞減區(qū)間？若存在，則求出單調(diào)遞減區(qū)間（用a表示）.

（2）若x=1不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，求證：函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)M對稱.

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已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c
（Ⅰ）當(dāng)b=1時，若函數(shù)f（x）在（0，1]上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)O對稱，在點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線為l，l與函數(shù)f（x）的圖象交于另一點(diǎn)Q（x1，y1）．若P，Q在x軸上的射影分別為P1、Q1，
OQ1
=λ
OP1
，求λ的值．

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已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c．
（Ⅰ）若a=-
3
2
，b=-6，c=1，求f（x）在[-2，4]上的最大值與最小值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)O對稱，在點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線為l，l與函數(shù)f（x）的圖象交于另一點(diǎn)Q（x1，y1）．若P、Q在x軸上的射影分別為P1、Q1，
OQ1
=λ
OP1
，求λ的值．

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已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c圖象上一點(diǎn)M（1，m）處的切線方程為y-2=0，其中a，b，c為常數(shù)．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）是否存在單調(diào)減區(qū)間？若存在，則求出單調(diào)減區(qū)間（用a表示）；
（Ⅱ）若x=1不是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求證：函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)M對稱．

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（理科）已知函數(shù)f(x)=
-x3+ax2+bx，(x＜1)
clnx，(x≥1)
的圖象在點(diǎn)（-2，f（-2））處的切線方程為16x+y+20=0
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值
（2）曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)M、N，使得△MON是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊MN的中點(diǎn)在y軸上，求實(shí)數(shù)c的取值范圍
（3）當(dāng)c=e時，討論關(guān)于x的方程f（x）=kx（k∈R）的實(shí)根個數(shù)．

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一．選擇題：

1．B  2．D  2．B  3．C   4．C　5． A  6．C   7．B  8．A  9．D  10．D

 

二．填空題：

11．a+b  12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1  14． 15．120º   16．②④

三．解答題：

17．由題設(shè)，得，，，雙曲線為，  …… 2分

直線AB的方程為 ，               ………………………  4分

代入到雙曲線方程得：4x2+20ax-29a2=0，           ………………………   6分

又，由得：

12=，                         ………………………  9分

解得a2=1，則b2=3，所以為所求�！�  12分

18．解：（Ⅰ）由題設(shè)可得 f '(x)=3x2+2ax+b，           ………………………  2分

   ∵ f '(x)的圖像過點(diǎn)（0，0），（2，0）

∴                              ………………………  5分

解之得：a=－3，b=0                             ………………………  7分

（Ⅱ）由f '(x)=3x2－6x＞0，得x＞2，或x＜0；      ………………………  9分

∴ 當(dāng)在（－∞，0）上,在(0,2)上,在上,

故在（-∞0）,上遞增,在(0,2)上遞減,      

因此在x=2處取得極小值,所以x0=2，            ………………………  12分

由f (2)=－5，得c=－1，

∴f（x）=x3－3x2－1                               ………………………  14分

19．：解法一：

 (Ⅰ) 過P作MN∥B1C1，分別交A1B1、D1C1于M、N，則M、N A1B1、D1C1的中點(diǎn)，連MB，NC由四邊形BCNM是平行四邊形，             ………………………  2分

∵E、M分別為AB、A1B1中點(diǎn)，∴A1E∥MB

又MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC。               ………………………  4分

(Ⅱ)  過A作AF⊥MB，垂足為F，連PF，

∵BC⊥平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，

∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，

∴∠APF就是直線AP與平面PBC所成的角，  ………… 6分

設(shè)AA1=a，則AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=

所以，直線AP與平面PBC所成的角是arcsin。             ………… 9分

（Ⅲ）連OP、OB、OC，則OP⊥BC，由三垂線定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O(shè)在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，則△PBC為正三角形。即PB=PC=BC                                 ………… 12分

所以k=。

反之，當(dāng)k=時，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐為正三棱錐，

∴O在平面PBC內(nèi)的射影為的重心                     ………… 14分

解法二：（建立空間坐標(biāo)系）

 

 

 

 

 

 

20．解  (Ⅰ)由=3在[a ，b]上為減函數(shù)，

   得   可得a = ?1 ， b = 1 ，∴ 所求區(qū)間是[?1，1]．  ………… 5分

 

    (Ⅱ)取1 = 1 ， 2 = 10，可得()不是減函數(shù)；取1 =，可得()在(0 ， +∞)不是增函數(shù)，所以()不是閉函數(shù)．         ………… 10分

(Ⅲ)設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間為[a ，b]，則

故a ， b是方程=的兩個實(shí)根，命題等價于

有兩個不等實(shí)根．            ………… 13分

當(dāng)k時，解得：，∴ ；

當(dāng)時，這時無解．

所以 k的取值范圍是．                          ………… 16分

 

 

21．解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c關(guān)于點(diǎn)(1,1)成中心對稱，所以

        x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2               ………… 3分

對一切實(shí)數(shù)x恒成立．得：a=－3，b+c=3，

對由f '(1)=0，得b=3，c=0，

故所求的表達(dá)式為：f(x)= x3－3x2+3x．                      ………… 7分

(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an    (1)

令bn=an－1，0<bn<1，由代入(1)得：bn+1=，bn=，………… 10分

∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0

    (a1－a2)?(a3－1)+(a2－a3)?(a4－1)+…+(an－an+1)?(an+2－1)=

＜=b1-bn+1＜b1＜1。                    ………… 14分

 （本題證法較多，其它證明方法得分可參照以上評分標(biāo)準(zhǔn)分步給分）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

參考答案

一．選擇題：

1．B  2．D  2．B  3．C   4．C　5． A  6．C   7．B  8．A  9．D  10．D

 

二．填空題：

11．a+b  12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1  14． 15．120º   16．②④

三．解答題：

17．由題設(shè)，得，，，雙曲線為，  …… 2分

直線AB的方程為，                   ………………………  4分

代入到雙曲線方程得：，       ………………………   6分

又，由得：

，                         ………………………  9分

解得，則，所以為所求。………………………  12分

18．解：（Ⅰ）由題設(shè)可得 f '(x)=3x2+2ax+b，           ………………………  2分

   ∵ f '(x)的圖像過點(diǎn)（0，0），（2，0）

∴                              ………………………  5分

解之得：a=－3，b=0                             ………………………  7分

（Ⅱ）由f '(x)=3x2－6x＞0，得x＞2，或x＜0；      ………………………  9分

∴ 當(dāng)在（－∞，0）上,在(0,2)上,在上,

故在（－∞，0）,上遞增,在(0,2)上遞減,      

因此在x=2處取得極小值,所以x0=2，            ………………………  12分

由f (2)=－5，得c=－1，

∴f（x）=x3－3x2－1                               ………………………  14分

19．：解法一：

 (Ⅰ) 過P作MN∥B1C1，分別交A1B1、D1C1于M、N，則M、N A1B1、D1C1的中點(diǎn)，連MB，NC由四邊形BCNM是平行四邊形，             ………………………  2分

∵E、M分別為AB、A1B1中點(diǎn)，∴A1E∥MB

又MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC。               ………………………  4分

(Ⅱ)  過A作AF⊥MB，垂足為F，連PF，

∵BC⊥平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，

∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，

∴∠APF就是直線AP與平面PBC所成的角，  ………… 6分

設(shè)AA1=a，則AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=

所以，直線AP與平面PBC所成的角是arcsin。             ………… 9分

（Ⅲ）連OP、OB、OC，則OP⊥BC，由三垂線定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O(shè)在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，則△PBC為正三角形。即PB=PC=BC                                 ………… 12分

所以k=。

反之，當(dāng)k=時，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐為正三棱錐，

∴O在平面PBC內(nèi)的射影為的重心                     ………… 14分

解法二：（建立空間坐標(biāo)系）

 

 

 

 

 

 

20．解  (Ⅰ)由=3在[a ，b]上為減函數(shù)，

   得   可得a = ?1 ， b = 1 ，∴ 所求區(qū)間是[?1，1]．  ………… 5分

 

    (Ⅱ)取1 = 1 ， 2 = 10，可得()不是減函數(shù)；取1 =，可得()在(0 ， +∞)不是增函數(shù)，所以()不是閉函數(shù)．         ………… 10分

(Ⅲ)設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間為[a ，b]，則

故a ， b是方程=的兩個實(shí)根，命題等價于

有兩個不等實(shí)根．            ………… 13分

當(dāng)k時，解得：，∴ ；

當(dāng)時，這時無解．

所以 k的取值范圍是．                          ………… 16分

 

 

21．解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c關(guān)于點(diǎn)(1,1)成中心對稱，所以

        x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2               ………… 3分

對一切實(shí)數(shù)x恒成立．得：a=－3，b+c=3，

對由f '(1)=0，得b=3，c=0，

故所求的表達(dá)式為：f(x)= x3－3x2+3x．                      ………… 7分

(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an    (1)

令bn=an－1，0<bn<1，由代入(1)得：bn+1=，bn=，………… 10分

∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0

    (a1－a2)?(a3－1)+(a2－a3)?(a4－1)+…+(an－an+1)?(an+2－1)=

＜=b1-bn+1＜b1＜1。                    ………… 14分

 （本題證法較多，其它證明方法得分可參照以上評分標(biāo)準(zhǔn)分步給分）

 

 

 


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