已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c圖象上一點(diǎn)M(1,m)處的切線方程為y-2=0,其中a,b,c為常數(shù).
(Ⅰ)函數(shù)f(x)是否存在單調(diào)減區(qū)間?若存在,則求出單調(diào)減區(qū)間(用a表示);
(Ⅱ)若x=1不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),求證:函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.
分析:(Ⅰ)f(x)=x3+ax2+bx+c,f′(x)=3x2+2ax+b,由題意,知m=2,b=-2a-3,c=a+4,f(x)=3x2+2ax-(2a+3) =3(x-1)(x+1+
2a
3
)
,由此進(jìn)行分類討論能求出單調(diào)減區(qū)間.
(Ⅱ)由x=1不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),a=-3,b=3,c=1,f(x)=x3-3x2+3x+1=(x-1)3+2,設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是函數(shù)f(x)的圖象上任一點(diǎn),則y0=f(x0)=(x0-1)3+2,點(diǎn)p(x0,y0)關(guān)于點(diǎn)M(1,2)的對(duì)稱點(diǎn)為Q(2-x0,4-y0),再由點(diǎn)P的任意性知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=x3+ax2+bx+c,f′(x)=3x2+2ax+b,(1分)
由題意,知m=2,f(1)=1+a+b+c=2,f′(1)=3+2a+b=0,
即b=-2a-3,c=a+4(2分)
f(x)=3x2+2ax-(2a+3) =3(x-1)(x+1+
2a
3
)
,(3分)
1當(dāng)a=-3時(shí),f′(x)=3(x-1)2≥0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)增加,
不存在單調(diào)減區(qū)間;(5分)
2當(dāng)a>-3時(shí),-1-
2a
3
<1,有
x (-∞,-1-
2a
3
(-1-
2a
3
,1)
(1,+∞)
f′(x) + - +
f(x)
∴當(dāng)a>-3時(shí),函數(shù)f(x)存在單調(diào)減區(qū)間,為[-1-
2a
3
,1](7分)
3當(dāng)a<-3時(shí),-1-
2a
3
>1,有
x (-∞,1) (1,-1-
2a
3
(-1-
2a
3
,+∞)
f′(x) + - +
f(x)
∴當(dāng)a<-3時(shí),函數(shù)f(x)存在單調(diào)減區(qū)間,為[1,-1-
2
3
a
](9分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:x=1不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),則a=-3,
b=3,c=1,f(x)=x3-3x2+3x+1=(x-1)3+2(10分)
設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是函數(shù)f(x)的圖象上任意一點(diǎn),則y0=f(x0)=(x0-1)3+2,
點(diǎn)p(x0,y0)關(guān)于點(diǎn)M(1,2)的對(duì)稱點(diǎn)為Q(2-x0,4-y0),
∵f(2-x0)=(2-x0-1)3+2=-(x0-1)3+2=2-y0+2=4-y0
∴點(diǎn)Q(2-x0,4-y0)在函數(shù)f(x)的圖象上.
由點(diǎn)P的任意性知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的單調(diào)性,具有一定的難度,解題時(shí)要結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),合理地進(jìn)行解答.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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